傅里叶级数FS，连续时间傅里叶变换CTFT，离散时间傅里叶变换DTFT，离散傅里叶变换DFT，推导与联系（一）

本文主要从傅里叶级数 FS，连续时间傅里叶变换 CTFT，离散时间傅里叶变换 DTFT，以及离散傅里叶变换 DFT 之间的区别与联系进行了比较详细的讨论，主要注重于公式形式上的推导，略去了相关的图像示例，对于傅里叶级数等数学上的严格证明，以及各种变换的性质也不属于本文的重点。本文主要参考自以下教材。

《数字信号处理–基于计算机的方法（第四版）》Sanjit K. Mitra ,电子工业出版社。

由于本文公式所占用的字符比较多，无法在一篇博客中完整发布，所以将其分为两篇博客。本篇主要介绍了傅里叶级数 FS，连续时间傅里叶变换 CTFT，以及离散时间傅里叶变换 DTFT。对于离散傅里叶变换 DFT 的内容，以及相关的总结，请移步以下链接。

傅里叶级数FS，连续时间傅里叶变换CTFT，离散时间傅里叶变换DTFT，离散傅里叶变换DFT，推导与联系（二）
https://blog.csdn.net/qq_33552519/article/details/130260657

对于离散傅里叶变换所衍生出的离散余弦变换和离散正弦变换，在我的另一篇文章中有所介绍，欢迎阅读与提出相关修改意见。

• DFT：https://blog.csdn.net/qq_33552519/article/details/124917126
• DCT：https://blog.csdn.net/qq_33552519/article/details/124917473
• DST：https://blog.csdn.net/qq_33552519/article/details/124962042

1 周期函数的傅里叶级数

根据高数的知识，设 $f\left(t\right)$ 是一个以 $T$ 为周期的函数，且在 $[-T/2,T/2]$ 上有界可积，我们称数串

$$\begin{array}{c}{a}_n=\frac{2}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(t\right)\cos \left(n{\omega }_{0}t\right)dt,\\ b_n=\frac{2}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(t\right)\sin \left(n{\omega }_{0}t\right)dt,\\ where{\omega }_0=2\pi /T.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

为函数 $f\left(t\right)$ 的傅里叶系数。以傅里叶系数为系数，所作的三角级数

$$f\left(t\right)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(n{\omega }_{0}t\right)+b_n\sin \left(n{\omega }_{0}t\right)\right),\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

称为函数 $f\left(t\right)$ 的傅里叶级数 (Fourier Series, FS)，其中 $\cos \left(n{\omega }_{0}t\right)$ 与 $\sin \left(n{\omega }_{0}t\right)$ 称为基本三角函数系。考虑欧拉公式，有

$$\begin{array}{c}\cos \left(n{\omega }_{0}t\right)=\frac{e^{jn{\omega }_{0}t}+e^{-jn{\omega }_{0}t}}{2},\\ \sin \left(n{\omega }_{0}t\right)=\frac{e^{jn{\omega }_{0}t}-e^{-jn{\omega }_{0}t}}{2j}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

且根据式 (1.1)，有

$$\begin{array}{c}{a}_{-n}=a_n,\\ b_{-n}=-b_n.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

于是

$$\begin{array}{rl}f\left(t\right)& \sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(n{\omega }_{0}t\right)+b_n\sin \left(n{\omega }_{0}t\right)\right]\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{\omega }_{0}t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}\right)\\ & =\frac{a_0-j{b}_0}{2}{e}^{j0{\omega }_{0}t}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{\omega }_{0}t}+\frac{a_{-n}-j{b}_{-n}}{2}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}\right)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{\omega }_{0}t}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

代入式 (1.1)，可得

$$\begin{array}{rl}{F}_n& =\frac{a_n-j{b}_n}{2}\\ & =\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(t\right)\left[\cos \left(n{\omega }_{0}t\right)-j\sin \left(n{\omega }_{0}t\right)\right]dt\\ & =\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(t\right)\left(\frac{e^{jn{\omega }_{0}t}+e^{-jn{\omega }_{0}t}}{2}-j\frac{e^{jn{\omega }_{0}t}-e^{-jn{\omega }_{0}t}}{2j}\right)dt\\ & =\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(t\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

这样我们就得到了更加统一简洁的复数形式的傅里叶级数公式，在信号与系统中也被称为周期函数的傅里叶变换对。习惯上将求解傅里叶系数的过程称为正变换，而傅里叶级数本身则称为反变换，即

F [ n ] = F { f ( t ) } = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) e − j n ω 0 t d t , f ( t ) = F − 1 { F [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n ω 0 t . (1.7) \begin{gathered} F\left[ n \right] = \mathcal{F}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = \frac{1}{T}\int\limits_{ - T/2}^{T/2} {f\left( t \right){e^{ - jn{\omega _0}t}}dt} , \\ f\left( t \right) = {\mathcal{F}^{ - 1}}\left\{ {F\left[ n \right]} \right\} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty { {F_n}{e^{jn{\omega _0}t}}} . \\ \end{gathered} \tag{1.7} F[n]=F{ f(t)}=T1​−T/2∫T/2​f(t)e−jnω0​tdt,f(t)=F−1{ F[n]}=n=−∞∑∞​Fn​ejnω0​t.​(1.7)

注意在高数中因为考虑数学的严谨性，傅里叶级数是用波浪线 $\sim$ 符号来表示的，表示傅里叶级数不一定能收敛到 $f\left(t\right)$，但在信号与系统更多考量的是时域与频域能量相等，即帕塞瓦尔定理，且所涉及的函数的性质大多也比较好，为避免麻烦一般用等号来表示。在后面的讨论中，除了一些特殊的函数如狄拉克函数以及由狄拉克函数表示的级数以外，在忽略掉周期内有限个间断点后，不妨假设函数 $f\left(t\right)$ 都是连续的。

尽管周期函数 $f\left(t\right)$ 的自变量 $t$ 本身是连续的，但所得的傅里叶系数 $F\left[n\right]$ 却只在离散的频率点 $n{\omega }_0$ 上有定义。这种性质就类似于电子能级跃迁的光谱，其是由若干离散频率的电磁波分量所组成的。因此，傅里叶系数 $F\left[n\right]$ 常被称为周期信号 $f\left(t\right)$ 的频谱，$F\left[n\right]$ 所在的空间也就被称为频域。另外，因为 $e^{jn{\omega }_{0}t}$ 在复平面上对应着一个单位圆，而不是实数域中的无限数轴，这使得复数域中的信号分析与处理相比于实数域会更加的简便，这种性质在后来的拉普拉斯变换与 z 变换中尤为重要。

2 非周期函数的傅里叶变换

如果考虑非周期函数 $f\left(t\right)$，我们可认为其周期 $T\to \infty$，于是有基频 ${\omega }_0\to 0$。引入变量 $\omega$，且有 ${\omega }_n=n{\omega }_0$，那么

$$\Delta {\omega }_n={\omega }_n-{\omega }_{n-1}={\omega }_0\to 0.$$

于是有 $\Delta {\omega }_n\to d\omega$，此时离散的 ${\omega }_n$ 成为连续的 $\omega$ 而无需再区分。这时

$$\begin{array}{rl}\underset{T\to \infty }{\lim }f\left(t\right)& =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{F_n}{\Delta {\omega }_n}\Delta {\omega }_n{e}^{j{\omega }_{n}t}\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\frac{1}{T\cdot \Delta {\omega }_n}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(\tau \right)e^{-j{\omega }_n\tau }d\tau \right)e^{j{\omega }_{n}t}\Delta {\omega }_n\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\frac{1}{2\pi }\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(\tau \right)e^{-j{\omega }_n\tau }d\tau \right)e^{j{\omega }_{n}t}\Delta {\omega }_n\\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left(\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(\tau \right)e^{-j\omega \tau }d\tau \right)e^{j\omega t}d\omega .\end{array}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

于是可以定义，设非周期函数 $f\left(t\right)$ 在 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上绝对可积，则 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换 (Fourier Transform, FT) 与反变换分别为

F ( j ω ) = F { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t , f ( t ) = F − 1 { F ( j ω ) } = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( j ω ) e j ω t d ω . (2.2) \begin{gathered} F\left( {j\omega } \right) = \mathcal{F}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt} , \\ f\left( t \right) = {\mathcal{F}^{ - 1}}\left\{ {F\left( {j\omega } \right)} \right\} = \frac{1}{ {2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {F\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } . \\ \end{gathered} \tag{2.2} F(jω)=F{ f(t)}=−∞∫∞​f(t)e−jωtdt,f(t)=F−1{ F(jω)}=2π1​−∞∫∞​F(jω)ejωtdω.​(2.2)

为了与后续的离散时间傅里叶变换做区分，有时还会特别称作连续时间傅里叶变换 (Continuous Time FT, CTFT)。注意以上的推导是不严格的，这里着重于其形式而略去相关证明。另外 $F\left(j\omega \right)$ 也可直接写作 $F\left(\omega \right)$，加上虚数符号主要是为了表达傅里叶变换的结果为复数，同时也与后面的离散时间傅里叶变换做区分。

相比傅里叶级数所得离散系数 $F\left[n\right]$，傅里叶变换 $F\left(j\omega \right)$ 定义在连续的频率自变量 $\omega$上，且 $\omega$与 $n$ 的量纲也有所区别，$\omega$ 是由 $\underset{{\omega }_0\to 0}{\lim }n{\omega }_0$ 这个极限来定义的。考虑定义在有限区间 $\left[-T/2,T/2\right]$ 的函数 $f\left(t\right)$，对其以 $T$ 为周期进行延拓获得周期函数 $\tilde{f}\left(t\right)$，那么可得 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换谱 $F\left(j\omega \right)$ 与 $\tilde{f}\left(t\right)$ 的傅里叶级数系数 $\tilde{F}\left[n\right]$ 分别为

$$\begin{array}{c}F\left(j\omega \right)=\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt,\\ \tilde{F}\left[n\right]=\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}\tilde{f}\left(t\right)e^{-jn{\Omega }_{T}t}dt=\frac{1}{T}{F\left(j\omega \right)|}_{\omega =n{\Omega }_T},\\ where{\Omega }_T=2\pi /T.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

也就是说，周期函数的傅里叶系数 $\tilde{F}\left[n\right]$ 是对该周期函数在一个周期内进行傅里叶变换所得 $F\left(j\omega \right)$ 以 ${\Omega }_T$ 为间隔均匀采样以及以 $T$ 进行幅度缩放的结果。这里涉及到了采样的概念，从而引出了下面我们所要说的离散时间傅里叶变换。我们也将看到，时域与频域的性质总是镜像对称的。

3 离散时间傅里叶变换

在讨论采样与离散时间傅里叶变换之前，我们需要先介绍狄拉克函数，其通常是基于极限定义的，即

$$\delta \left(t\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\{\begin{array}{cc}1/\epsilon ,& t\in \left(-\epsilon /2,\epsilon /2\right)\\ 0,& others\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

注意狄拉克函数的定义不是唯一的，以上采用了比较简单的矩形函数定义，也可使用其他如三角形函数的定义，等等。其只在 $t\to 0$ 有无穷大的值，而在其他位置为 0，因此狄拉克函数也被称为冲激函数，并且有

$$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\delta \left(t\right)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{-\epsilon /2}{\overset{\epsilon /2}{\int }}\frac{1}{\epsilon }dt=1.\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

假设函数 $f\left(t\right)$ 连续，因为 $\underset{t\to t_0}{\lim }f\left(t\right)=f\left(t_0\right)$，容易推导得其以下性质

$$\begin{array}{rl}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(t\right)\delta \left(t-t_0\right)dt& =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{t_0-\epsilon /2}{\overset{t_0+\epsilon /2}{\int }}f\left(t\right)\frac{1}{\epsilon }dt\\ & =f\left(t_0\right)\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{t_0-\epsilon /2}{\overset{t_0+\epsilon /2}{\int }}\frac{1}{\epsilon }dt=f\left(t_0\right)\\ & =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(t_0\right)\delta \left(t-t_0\right)dt.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

这个性质也称为狄拉克函数的采样性质。除此以外，狄拉克函数的卷积性质也十分常用，即

$$\begin{array}{rl}f\left(t\right)\ast \delta \left(t-t_0\right)& =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(\tau \right)\delta \left(t-t_0-\tau \right)d\tau \\ & =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{t-t_0-\epsilon /2}{\overset{t-t_0+\epsilon /2}{\int }}f\left(\tau \right)\frac{1}{\epsilon }d\tau \\ & =f\left(t-t_0\right)\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{t-t_0-\epsilon /2}{\overset{t-t_0+\epsilon /2}{\int }}\frac{1}{\epsilon }d\tau \\ & =f\left(t-t_0\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

也就是说，狄拉克函数可以使得时间轴 $t$ 的原点根据冲激产生的位置进行移动，从而可以以卷积的形式来表达函数的时移。

狄拉克函数提供了从连续时间信号到离散时间信号的分析方法。现实采样通常涉及采样周期 $T$ 与采样时间 $\epsilon$ 两个概念。采样周期为两个相邻离散采样点的时间距离，一般我们只讨论等间隔的采样。采样时间主要受采样技术的限制，现有技术通常无法在一瞬间测量到信号比较准确的值。例如测量电压时通常需要对电容进行充电，而充电需要一定时间，这个过程可以用积分来表示，即

$$\bar{f}\left(nT\right)=\frac{1}{\epsilon }\underset{nT-\epsilon /2}{\overset{nT+\epsilon /2}{\int }}f\left(t\right)dt.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

可以发现狄拉克函数相当于一个理想的瞬时采样过程，使用狄拉克函数可以忽略采样时间这个概念，从而在信号分析中免去很多不必要的运算。

那么，假设有一连续时间信号 $f_a\left(t\right)$，以 $T$ 为采样周期，对 $f_a\left(t\right)$ 在 $t=nT$ 时均匀采样，可得离散序列 $f\left[n\right]$，其中

$$f\left[n\right]=f_a\left(nT\right),-\infty <n<\infty \text{\hspace{1em}(3.6)}$$

采样的过程可表示为周期狄拉克函数的加权叠加，从而获得连续时间信号 $f_p\left(t\right)$，即

$$f_p\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)\delta \left(t-nT\right).\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

当然，$f_p\left(t\right)$ 也等价于 $f_a\left(t\right)$ 与周期冲激串 $p\left(t\right)$ 的乘积，即

$$\begin{array}{c}{f}_p\left(t\right)=f_a\left(t\right)p\left(t\right),\\ wherep\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t-nT\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

注意连续时间信号与连续信号的区别，连续时间只是说自变量 $t$ 是连续的，并没有说信号本身是连续的。另外，由于 $f_p\left(t\right)$ 是由狄拉克函数的加权叠加来表示的，其只有在区间积分下才具有意义，例如

$$\underset{nT-\tau }{\overset{nT+\tau }{\int }}{f}_p\left(t\right)dt=f_a\left(nT\right)=f[n],\tau <T/2.\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

那么，可推导得 $f_p\left(t\right)$ 的傅里叶变换为

$$\begin{array}{rl}{F}_p\left(j\omega \right)& =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{f}_p\left(t\right)e^{-j\omega t}dt\\ & =\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)\delta \left(t-nT\right)\right)e^{-j\omega t}dt\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\delta \left(t-nT\right)e^{-j\omega t}dt\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\delta \left(t-nT\right)e^{-j\omega \left(t-nT\right)-j\omega nT}d\left(t-nT\right)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)e^{-j\omega nT}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

因为我们更关心信号本身，所以当连续时间信号经过采样获得离散时间信号后，可以忽略采样周期 $T$，从而简化后续的运算。为了区别于一般的连续时间信号的傅里叶变换，我们用 $\Omega$ 代替式 (3.10) 中的 $\omega$，即

$$F_p\left(j\Omega \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)e^{-j\Omega nT}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

那么可定义序列 $f\left[n\right]$ 的离散时间傅里叶变换 (Discrete Time FT, DTFT) 为

$$F\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f\left[n\right]e^{-j\omega n},where\omega =\Omega T.\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

并且有

$$\omega =2\pi \iff \Omega =\frac{\omega }{T}=\frac{2\pi }{T}={\Omega }_T.\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

这样我们就有了分析离散时间信号的方法，这对于只能处理离散数据的数字电路尤为重要。然而，尽管我们在式 (3.12) 中有意忽略了采样周期 $T$，但这并不代表不需要对其进行进一步的讨论。因为采样是从连续时间到离散时间的转换过程，直觉上这会导致一部分信息丢失，那么该如何去证明以及衡量这种信息失真是我们接下来要讨论的重点。

可以发现，不同于一般连续时间信号的傅里叶变换，由周期狄拉克函数加权叠加所定义的连续时间信号 $f_p\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $F_p\left(j\Omega \right)$，以及序列 $f\left[n\right]$ 的离散时间傅里叶变换 $F\left(e^{j\omega }\right)$ 都是具有明确周期性的，即

$$\begin{array}{rl}{F}_p\left(j\Omega \right)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)e^{-j\Omega nT}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)e^{-j\Omega n\frac{2\pi }{{\Omega }_T}}\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)e^{-j\left(\Omega +k{\Omega }_T\right)n\frac{2\pi }{{\Omega }_T}}=F_p\left(j\left(\Omega +k{\Omega }_T\right)\right),\\ F\left(e^{j\omega }\right)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }f\left[n\right]e^{-j\omega n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f\left[n\right]e^{-j\left(\omega +2k\pi \right)n}\\ & =F\left(e^{j\left(\omega +2k\pi \right)}\right)=F\left(e^{j\left(\omega +k{\Omega }_{T}T\right)}\right),\\ where\omega & =\Omega T,{\Omega }_T=2\pi /T.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

即 $F_p\left(j\Omega \right)$ 是以采样频率 ${\Omega }_T$ 为周期的函数，$F\left(e^{j\omega }\right)$ 则相应地以 $2\pi$ 为周期，这种周期性是由采样过程中所使用的周期冲激串 $p\left(t\right)$ 所引入的。除此以外，尽管我们通过 $F_p\left(j\Omega \right)$ 与 $F\left(e^{j\omega }\right)$ 定义了离散时间傅里叶变换的形式，但并没有将其与一般连续时间信号的傅里叶变换 $F_a\left(j\Omega \right)$ 建立起联系。由于连续时间函数 $f_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $F_a\left(j\Omega \right)$ 本身并没有周期性，即 $F_a\left(j\Omega \right)$ 有可能在整个数轴 $\Omega \in \left(-\infty ,+\infty \right)$ 上非周期性地延伸，那么如果 $F_p\left(j\Omega \right)$ 是由 $F_a\left(j\Omega \right)$ 推导而来的，$F_p\left(j\Omega \right)$ 的周期性将不可避免地导致 $F_a\left(j\Omega \right)$ 的部分信息被破坏。

为了证明这种信息失真，我们需要引入泊松求和公式，即对于一非周期连续时间函数 $\varphi \left(t\right)$，有

$$\begin{array}{c}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi \left(t+nT\right)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\Phi \left(jk{\Omega }_T\right)e^{jk{\Omega }_{T}t},\\ where{\Omega }_T=2\pi /T.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

其中 $\Phi \left(j\Omega \right)$ 为 $\varphi \left(t\right)$ 的连续时间傅里叶变换，$T$ 为任意非零长度。要证明这一点，需要综合地使用到我们前面所述的周期函数的傅里叶级数以及连续时间函数的傅里叶变换的知识，以及关于狄拉克函数的性质，即

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi \left(t+nT\right)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi \left(t\right)\ast \delta \left(t+nT\right)\\ & =\varphi \left(t\right)\ast \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(t+nT\right)\\ & =\varphi \left(t\right)\ast \left[\sum _{k=-\infty }^{-\infty }\left(\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}\delta \left(\tau \right)e^{-jk{\Omega }_T\tau }d\tau \right)e^{jk{\Omega }_{T}t}\right]\\ & =\varphi \left(t\right)\ast \frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{e}^{jk{\Omega }_{T}t}\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\varphi \left(t\right)\ast e^{jk{\Omega }_{T}t}\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\varphi \left(\tau \right)e^{jk{\Omega }_T\left(t-\tau \right)}d\tau \right)\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\varphi \left(\tau \right)e^{-jk{\Omega }_T\tau }d\tau \right)e^{jk{\Omega }_{T}t}\\ & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\Phi \left(jk{\Omega }_T\right)e^{jk{\Omega }_{T}t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

当 $t=0$ 时，有

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi \left(nT\right)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\Phi \left(jk{\Omega }_T\right).\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

根据 CTFT 频移性质，即

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\Phi \left(\Omega +\Psi \right)e^{j\Omega t}d\Omega \\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\Phi \left(\Omega +\Psi \right)e^{j\left(\Omega +\Psi \right)t-j\Psi t}d\left(\Omega +\Psi \right)\\ & =e^{-j\Psi t}\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\Phi \left(\Omega \right)e^{j\Omega t}d\Omega \\ & =\varphi \left(t\right)e^{-j\Psi t}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.18)}$$

于是有

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\varphi \left(nT\right)e^{-j\Psi nT}=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\Phi \left(j\left(k{\Omega }_T+\Psi \right)\right).\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

将 $f_a\left(t\right)$ 替代 $\varphi \left(t\right)$，$k{\Omega }_T$ 替代 $\Psi$，即有

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{f}_a\left(nT\right)e^{-j\Omega nT}=F_p\left(j\Omega \right)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{F}_a\left(j\left(\Omega +k{\Omega }_T\right)\right).\text{\hspace{1em}(3.20)}$$

因此可知，函数 $f_p\left(t\right)$ 的连续时间傅里叶变换是 $f_a\left(t\right)$ 的连续时间傅里叶变换经过以采样频率 ${\Omega }_T$ 为周期进行平移以及幅度缩放后相加的结果。那么可预知的是，如果 $F_a\left(j\Omega \right)$ 在 $\left|\Omega \right|>{\Omega }_T/2$ 时有非零值，就极有可能出现与 $F_a\left(j\left(\Omega +k{\Omega }_T\right)\right)$ 重叠的情况，而重叠部分的频谱将无法再通过滤波进行分离，即我们无法从 $F_p\left(j\Omega \right)$ 完整地恢复 $F_a\left(j\Omega \right)$，从而造成信息丢失。但反过来说，如果 $F_a\left(j\Omega \right)$ 只在 $\left|\Omega \right|<{\Omega }_T/2$ 内有非零值，就不会与 $F_a\left(j\left(\Omega +k{\Omega }_T\right)\right)$ 存在重叠的部分，在只知道 $F_p\left(j\Omega \right)$ 的情况下，我们可以通过理想低通滤波器取 $F_p\left(j\Omega \right)$ 在 $\Omega \in \left({\Omega }_T/2,{\Omega }_T/2\right)$ 的部分完整地恢复 $F_a\left(j\Omega \right)$，由于傅里叶变换是可逆的，这意味着我们通过离散序列 $f\left[n\right]$ 无失真地恢复连续时间信号 $f_a\left(t\right)$。因为序列 $f\left[n\right]$ 的离散时间傅里叶变换 $F\left(e^{j\omega }\right)$ 只是 $F_p\left(j\Omega \right)$ 将 ${\Omega }_T$ 缩放到 $2\pi$ 的结果，其性质只需参照以上推论即可。

因此可以发现，虽然直觉上对连续时间信号 $f_a\left(t\right)$ 进行采样获得离散序列 $f\left[n\right]$ 的过程会存在信息失真，但这种情况并不是绝对的，这取决于连续时间信号的频谱有效范围以及所使用采样频率。设当 $\left|\Omega \right|>{\Omega }_m$ 时，有 $F_a\left(j\Omega \right)=0$，那么采样频率 ${\Omega }_T$ 只要满足

$${\Omega }_m⩽{\Omega }_T/2\iff {\Omega }_T⩾2{\Omega }_m.\text{\hspace{1em}(3.21)}$$

即可实现从序列 $f\left[n\right]$ 到 $f_a\left(t\right)$ 的无失真恢复。这个结论也就是带限信号的抽样定理，式 (3.21) 也被称为奈奎斯特 (Nyquist) 条件，$2{\Omega }_m$ 称为奈奎斯特率，它确定了从抽样形式中完全恢复 $f_a\left(t\right)$ 的最小抽样频率。但要注意的是，$F_a\left(j\Omega \right)$ 在 $\left|\Omega \right|={\Omega }_m$ 处不能包含冲激函数（也就是狄拉克函数），因为冲激函数是由极限形式定义的，这意味着 $\Omega \to {\Omega }_m^{+}$ 时 $F_a\left(j\Omega \right)$ 并不为 0，此时采样频率要大于 $2{\Omega }_m$ 才能恢复出 $f_a\left(t\right)$。例如以 ${\Omega }_T=2{\Omega }_m$ 对 $f_a\left(t\right)=\sin \left({\Omega }_{m}t\right)$ 进行采样时，有

$$f\left[n\right]=f_a\left(\frac{2\pi n}{{\Omega }_T}\right)=\sin \left(\pi n\right)=0.$$

这明显是不可能从 $f\left[n\right]$ 恢复 $f_a\left(t\right)$ 的。

总之，我们分析了连续时间信号 $f_a\left(t\right)$ 通过均匀采样获得离散序列 $f\left[n\right]$ 的过程以及连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换的内在联系。在这之后，我们主要注重于离散序列 $f\left[n\right]$ 本身的分析，而不再考虑采样频率所带来的问题。前面已经提到，对于离散序列 $f\left[n\right]$，假设其绝对可和，定义其离散时间傅里叶变换为

$$F\left(e^{j\omega }\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f\left[n\right]e^{-j\omega n}.\text{\hspace{1em}(3.22)}$$

为了推导其反变换形式，因为 $F\left(e^{j\omega }\right)$ 是以 $2\pi$ 为周期的，不妨仿照连续时间傅里叶反变换形式，而只在 $\left(-\pi ,\pi \right)$ 上进行积分，可得

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}F\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega n}d\omega \\ =& \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }f\left[m\right]e^{-j\omega m}\right)e^{j\omega n}d\omega \\ =& \sum _{m=-\infty }^{\infty }f\left[m\right]\left(\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-j\omega \left(n-m\right)}d\omega \right).\end{array}\text{\hspace{1em}(3.23)}$$

当 $n=m$ 时，明显有

$$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-j\omega 0}d\omega =1.\text{\hspace{1em}(3.24)}$$

当 $n\ne m$ 时，有

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-j\omega \left(n-m\right)}d\omega \\ =& \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos \left(\omega \left(n-m\right)\right)-j\sin \left(\omega \left(n-m\right)\right)d\omega \\ =& \frac{1}{2\pi \left(n-m\right)}{\left[\sin \left(\omega \left(n-m\right)\right)+j\cos \left(\omega \left(n-m\right)\right)\right]|}_{-\pi }^{\pi }\\ =& 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.25)}$$

于是有

$$f\left[n\right]=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}F\left(e^{j\omega }\right)e^{j\omega n}d\omega .\text{\hspace{1em}((3.26)}$$

从而可以总结得序列 $f\left[n\right]$ 的离散时间傅里叶变换对为

F ( e j ω ) = F { f [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ f [ n ] e − j ω n . f [ n ] = F − 1 { F ( e j ω ) } = 1 2 π ∫ − π π F ( e j ω ) e j ω n d ω . (3.27) \begin{gathered} F\left( { {e^{j\omega }}} \right) = \mathcal{F}\left\{ {f\left[ n \right]} \right\} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {f\left[ n \right]{e^{ - j\omega n}}} . \\ f\left[ n \right] = {\mathcal{F}^{ - 1}}\left\{ {F\left( { {e^{j\omega }}} \right)} \right\} = \frac{1}{ {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {F\left( { {e^{j\omega }}} \right){e^{j\omega n}}d\omega } . \\ \end{gathered} \tag{3.27} F(ejω)=F{ f[n]}=n=−∞∑∞​f[n]e−jωn.f[n]=F−1{ F(ejω)}=2π1​−π∫π​F(ejω)ejωndω.​(3.27)

类似于连续时间下定义的狄拉克函数，我们也可定义离散时间下的冲激序列

$$\delta \left[n\right]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0,\\ 0,& n\ne 0.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.28)}$$

于是有

F { δ [ n − m ] } = ∑ n = − ∞ ∞ δ [ n − m ] e − j ω n = e − j ω m ∑ n = − ∞ ∞ δ [ n − m ] e − j ω ( n − m ) = e − j ω m . (3.29) \begin{gathered} \mathcal{F}\left\{ {\delta \left[ {n - m} \right]} \right\} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\delta \left[ {n - m} \right]{e^{ - j\omega n}}} \\ = {e^{ - j\omega m}}\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\delta \left[ {n - m} \right]{e^{ - j\omega \left( {n - m} \right)}}} = {e^{ - j\omega m}}. \\ \end{gathered} \tag{3.29} F{ δ[n−m]}=n=−∞∑∞​δ[n−m]e−jωn=e−jωmn=−∞∑∞​δ[n−m]e−jω(n−m)=e−jωm.​(3.29)

刚好对应了式 (3.23) 中的

1 2 π ∫ − π π F { δ [ n − m ] } e j ω n d ω = 1 2 π ∫ − π π e − j ω m e j ω n d ω = 1 2 π ∫ − π π e − j ω ( n − m ) d ω = δ [ n − m ] . (3.30) \begin{aligned} &\frac{1}{ {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {\mathcal{F}\left\{ {\delta \left[ {n - m} \right]} \right\}{e^{j\omega n}}d\omega } \\ = &\frac{1}{ {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi { {e^{ - j\omega m}}{e^{j\omega n}}d\omega } \\ = &\frac{1}{ {2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi { {e^{ - j\omega \left( {n - m} \right)}}d\omega } = \delta \left[ {n - m} \right]. \\ \end{aligned} \tag{3.30} ==​2π1​−π∫π​F{ δ[n−m]}ejωndω2π1​−π∫π​e−jωmejωndω2π1​−π∫π​e−jω(n−m)dω=δ[n−m].​(3.30)

因此，离散冲激序列 $\delta \left[n\right]$ 在离散时间信号的分析中同样非常重要，其性质可以在计算序列的离散时间傅里叶变换时提供不少便利。