『数论·同余』中国剩余定理

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中国剩余定理问题

中国剩余定理，就是给定 $a_1,a_2,...,a_n$,以及 $m_1,m_2,...,m_n$,求一个给定的 $x$满足：

• $a_i\ \equiv\ x(mod\ m_i),\ \ \ 1\leq i\leq n$

中国剩余定理结论

设 $N\ =\prod_{i=1}^{n}m_i\ \ ,\ \ M_i\ =\ \frac{N}{m_i}$.并满足 $M_i*t_i\ \equiv\ a_i(mod\ m_i)$。

则我们做求的 $x\ =\ \sum_{i=1}^{n}a_it_iM_i$.

中国剩余定理证明

对于任意 $a_it_iM_i$来说，一定满足：

• 1. $a_it_iM_i\ \equiv\not\ 0(j\ =\not\ i)$
• 2. $a_it_iM_i\ \equiv\ a_i(mod\ m_i)$

第一个条件保证了 $i$不对其他产生影响；第二个条件保证了一定满族问题中的同余条件。

中国剩余定理的实现

$M_i*t_i\ \equiv\ a_i(mod\ m_i)$中，求解 $t_i$需要用到扩展欧几里得求解线性同余方程的算法;剩下的都很好实现了吧。注意一般题目里数值都比较大，需要开longlong。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define LL long long

const LL S = 50;
int n;
LL x,y;
LL m[S],a[S];

LL Exgcd(LL a,LL b,LL c)
{
	if (b == 0)
	{
		x = c/a;
		y = 0;
		return a;
	}
	LL t = Exgcd(b,a%b,c);
	LL X = x,Y = y;
	x = Y;
	y = X-a/b*Y;
	return t;
}

int main(void)
{
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	LL N = 1,ans = 0;
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>m[i]>>a[i];
		N = N*m[i];	
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
	{
		Exgcd(N/m[i],m[i],1);
		ans = ans+x*N/m[i]*a[i];
	}
	cout<<(ans%N+N)%N<<endl;
	return 0;
}