同余定理#数论

数的整除性定理
a | b代表a整除b，即b是a的倍数 b % a == 0

同余定理
给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除
即（a-b）/ m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余
记作 a≡b(mod m)
若 a≡0(mod m) 则m | a
若 a≡b(mod m)等价于a和b分别用m去除，余数相等

同余性质

1. 反身性：a≡a (mod m)
2. 对称性： 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)
3. 传递性： 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)
4. 同余式相加减：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a ± c≡b ± d(mod m)
5. 同余式相乘：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则ac≡bd(mod m)
6. 除法：若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数。特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
7. 幂运算：如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
8. 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
9. 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2…n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,…mn的最小公倍数