很久很久以前，《孙子算经》里，有一道“物不知数”题：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
就是说，有一堆东西，三个三个数剩余两个，五个五个数剩余三个，七个七个数剩余两个，请问有多少个？
粗涉数论的人应该知道“同余”和“同余式（组）”的概念。设这堆东西的数量为x，则原问题可表示为同余式组
x ≡ 2 (mod 3),
x ≡ 3 (mod 5),
x ≡ 2 (mod 7).
原问题在《孙子算经》里的解释为：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。答曰：二十三。”（引用自百度百科：物不知数）
即：先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是35；
再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；
然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30。（引用自百度百科）
他们相加得128，但是它不是最小的。可以求它除以（3*5*7=105）的余数，也就是答案23.
同理，所有模105余23的数都是原问题的答案：
x ≡ 23 (mod 105).
这种问题有一般的推广形式，就是很重要的中国剩余定理：
设m1,m2,...,mk是k个两两互素的正整数，则对任意的整数b
1,b
2,...,b
k,同余式组
x ≡ b
1 (mod m
1),
x ≡ b
2 (mod m
2),
......
x ≡ b
k (mod m
k)
一定有解，且解是唯一的。
若令
m = m
1m
2...m
k , m / m
i = M
i , M
i'M
i ≡ 1 (mod m
i) 【即M
i' 是M
i的模m
i逆元】
则
x ≡ b
1M
1
'M
1
+ b
2M
2'M
2 + ... + b
kM
k
'M
k
(mod m).
利用万能的C++，我们可以设计出运用中国剩余定理求x的程序。
首先是开头部分：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cmath> 4 #define MAXN 10000 5 using namespace std; 6 int TotalNums;//同余方程组中同余方程的数量 7 int b[MAXN],m[MAXN],M[MAXN],revM[MAXN],kM;//b[i]是第i个同余式右边，m[i]是第i个同余式的模，kM是所有模的乘积，M[i]是kM与m[i]的商，revM[i]是M[i]模m[i]的逆元。
对于程序，这几个函数是必要的：
1 int gcd(int a,int b){return (a%b==0)?b:gcd(b,a%b);}//欧几里得递归求最大公约数 2 int lcm(int a,int b){return a*b/gcd(a,b);}//根据两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，求出最小公倍数 3 void exgcd(int,int,int&,int&);//广义欧几里得算法 4 int getRev(int);//获得逆元，参数表示这是第几个同余式的情况。 5 int getProduct(int[]);//数组求积 6 bool isEachPrime();//判断数列中的数是否互素 7 int _x[MAXN],_y[MAXN];//临时变量，供exgcd函数后两个引用参数使用
1 void exgcd(int a,int b,int& x,int& y)//求满足xa+yb=(a,b)的整数x,y.由于不好返回两个值，因此存储在参数x和y中，因此要使用引用。 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1;y=0; 6 return; 7 } 8 exgcd(b,a%b,x,y);//具体请参阅“Bezout恒等式” 9 int p=x; 10 x=y; 11 y=p-a/b*y; 12 }//其实这段代码我是背下来的，我也不太理解o(╥﹏╥)o 13 int getRev(int i) 14 { 15 exgcd(M[i],m[i],_x[i],_y[i]);//对于满足xa+yb=(a,b)的同余式，如果b=1，则上述x是满足ax≡1(mod b)的解。可以证明当(a,b)=1时，这个同余式有唯一解。 16 return (_x[i]+m[i])%m[i];//得到最小值 17 } 18 int getProduct(int a[])//获得数组a的元素乘积 19 { 20 int p=1; 21 for(int i=1;i<=TotalNums;i++) 22 { 23 p*=a[i]; 24 } 25 return p; 26 } 27 bool isEachPrime()//判断数组m的元素是否两两互素。如果一个数组的元素都是两两互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。求数组最小公倍数的方法：先求出前两个元素的最小公倍数，再求出这个最小公倍数和第三个元素的最小公倍数，以此类推。 28 { 29 int p=m[1]; 30 for(int i=2;i<=TotalNums;i++) 31 { 32 p=lcm(m[i],p); 33 } 34 if(p!=getProduct(m)) return false; 35 else return true; 36 }
最后是主程序：
int main() { cout<<"请输入同余式数量："; cin>>TotalNums; cout<<"格式："<<endl; for(int i=1;i<=TotalNums;i++) { cout<<"x≡b_"<<i<<"(mod m_"<<i<<")"<<endl; } for(int i=1;i<=TotalNums;i++) { cout<<"请输入b_"<<i<<":"; cin>>b[i]; cout<<"请输入m_"<<i<<":"; cin>>m[i]; } if(!isEachPrime())//无解 { cout<<"m没有两两互素，原方程组无解。"<<endl; return 0; } else//有解 { kM=getProduct(m);//获得模的乘积 for(int i=1;i<=TotalNums;i++) { M[i]=kM/m[i];//求得M[i] revM[i]=getRev(i);//获得逆元 } int result=0; for(int i=1;i<=TotalNums;i++) { result+=(b[i]*revM[i]*M[i]);//根据中国剩余定理的定义 } result%=kM;//获得最终结果 cout<<"结果：\nx≡"<<result<<"(mod "<<kM<<")"; return 0; } }