莫比乌斯函数总结
性质：\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\)
这个可以用组合数的性质来证，形象点的话就是杨辉三角。
因为恒等式：\(\sum_{i=0}^{n}(-1)^nC_{n}^{i}=0\).
莫比乌斯反演：
形式一:
已知：\(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\)，则有：\(f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})\).
证明如下：
\[ \sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k) \]
交换求和次序，有：
\[ \sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum_{k|n}f(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=\sum_{k|n}f(k)[\frac{n}{k}=1]=f(n) \]
故得证.
形式二:
已知：\(g(n)=\sum_{n|d}f(d)\)，则有：\(f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\).
证明如下：
令\(k=\frac{d}{n}\),则有：
\[\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(k)g(nk)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(k)\sum_{nk|t}f(t)\]
交换求和次序，有：
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\mu(k)\sum_{nk|t}f(t)=\sum_{n|t}f(t)\sum_{k|\frac{t}{n}}\mu(k)=\sum_{n|t}f(t)[\frac{t}{n}=1]=f(n) \]
故得证.
常用技巧（应用）：
一个性质：
\[ \lfloor\frac{\lfloor\frac{x}{a}\rfloor}{b}\rfloor=\lfloor\frac{x}{ab}\rfloor \]
证明如下：
令\(y=\lfloor\frac{x}{a}\rfloor,z=\lfloor\frac{x}{ab}\rfloor\),显然有：\(x=zab+c,c\leq ab\).
等式两边同时除以\(a\)并向下取整有：\(y=zb+\lfloor\frac{c}{a}\rfloor\).
再同时除以\(b\)并向下取整：\(\lfloor\frac{\lfloor\frac{x}{a}\rfloor}{b}\rfloor=z+\lfloor\frac{\lfloor\frac{c}{a}\rfloor}{b}\rfloor\).
之后就比较显然了。
例一：
求：\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]\).
\[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}\mu(d) \]
说明一下：从第一步到第二步多出来一个和式，就相当于一个容斥的过程，考虑所有的\((i,j)\)，对于他们的\(gcd\)来进行容斥：先加上所有的情况，然后减去\(gcd\)为\(2,3,5...\)倍数的情况，但会多减，所以加回来。
之后再进行变换得：
\[ \sum_{d}\mu(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|j}1=\sum_{d}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor \]
后面的部分直接整除分块，然后预处理\(\mu\)的前缀和就行了。
例二：
求：\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\)
这个和第一个比较类似，我们变化一下就有：
\[ \sum{d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]=\sum{d}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1] \]
根据例一得：
\[ \sum{d}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1]=\sum{d}\sum_t\mu(t)\lfloor\frac{n}{dt}\rfloor\lfloor\frac{m}{dt}\rfloor \]
令\(T=dt\)，则上式可化为：
\[ =\sum{\frac{T}{t}}\sum_{t}\mu(\frac{T}{d})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor=\sum_{T}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{t|T}\mu(t)\frac{T}{t}=\sum_T\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\varphi(T) \]
说说为什么最后转化为了欧拉函数：
欧拉函数有个十分有用的性质：\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)，证明的话主要从\(f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\)这个函数为积性函数入手。同时还有一个性质也比较有用：\(\varphi(p^m)=p^m-p^{m-1}\)。
有了这个式子反演一下就有：
\[ \varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d} \]
对于例二，整除分块+预处理欧拉函数就行了。
相关例题：
留坑待补