莫比乌斯函数&莫比乌斯反演证明

前言?

终于放假了~~感觉再不趁机颓会儿我博客就废了……

赶紧写点东西刷刷存在感(骗点积分

莫比乌斯函数

 定义一种函数$\mu(d)$,满足:

1.若$d=1$,则$\mu(d)=1$。

2.若$d=p_1p_2p_3\cdots p_k$且$p_i$为互异素数时,$\mu(d)=(-1)^k$。

3.其他情况$\mu(d)=0$。

那么我们将函数$\mu(d)$称作莫比乌斯函数。

看上去很NB?

通俗一点,就是对于1来说$\mu(1)=1$,其他数的话若数d包含相同质因子则$\mu(d)=0$,若质因子各不相同,那么若x有奇数个质因子$\mu(d)=-1$,否则$\mu(d)=1$。

 莫比乌斯函数有许多神奇的性质(就知道两个):

性质一:$\sum\limits_{d|n}\mu(d) = [n==1]$

证明:

[n==1]意思就是当且仅当n=1时返回1,否则返回0。

$n=1$时显然成立。

$n \neq 1$时,首先对于$\mu(d)=0$的情况我们可以直接忽略,只需考虑$\mu(d)\neq 0$,即$d=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_k^{c_k}$且对于$\forall i\in [1,k]\ c_i=1$的情况。

 设$n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_i^{c_i}$,则d的质因子个数是j的情况一共有$C_i^j$种。

那么根据莫比乌斯函数的定义我们可以得到\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d) & = & C_i^0-C_i^1+C_i^2-\cdots +(-1)^kC_i^i \\& = & \sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j \end{array}

就是说我们只需要证明$\sum\limits_{j=0}^i(-1)^jC_i^j = 0$就可以了。

这个东西就是个裸的二项式定理,不会二项式定理的话可以参考我的另一篇博客又开始骗阅读了)。

于是我们就愉快的证明出了性质一。

性质二:$\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$

其中$\phi(n)$为欧拉函数(来看莫比乌斯反演的应该不会不知道吧……)。

这个性质会在下面讲狄利克雷卷积时证明。

求法:

求单个数的莫比乌斯函数直接分解质因数即可。

若求1~n项的莫比乌斯函数值,我们可以用Eratosthenes筛法计算。

#include<cstdio>
using namespace std;
int const N=1e5+5;
int miu[N];
bool v[N];
inline void get_miu(int n){
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        miu[i]=1;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(v[i])continue;
        miu[i]=-1;
        for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i){
            v[j]=1;
            if((j/i)%i)miu[j]=-miu[j];
            else miu[j]=0;
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    get_miu(n);
    return 0;
}
View Code

也可以线性筛,只要在线性筛素数的基础上略做修改即可。

#include<cstdio>
using namespace std;
int const N=1e5+5;
int miu[N],prime[N],tot;
bool v[N];
inline void get_miu(int n){
    miu[1]=1;
    for(register int i=2;i<=n;++i){
        if(!v[i])prime[++tot]=i,miu[i]=-1;
        int zz=-miu[i];
        for(register int j=1;j<=tot;++j){
            int now=prime[j]*i;
            if(now>n)break;
            v[now]=1;
            if(i%prime[j])miu[now]=zz;
            else break;
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    get_miu(n);
    return 0;
}
View Code

 狄利克雷卷积

在学习狄利克雷卷积之前我们先了解一个东西叫做数论函数

我们不必熟悉整个数论函数的体系,我们只需要了解一些常见数论函数即可。

而如果一个数论函数f对于任意两个互质的正整数a,b满足$f(a*b)=f(a)*f(b)$,我们把函数f称作积性函数。

注意积性函数与积性函数的乘积仍为积性函数。

我们见到的大部分数论函数都是积性函数,下面举一些例子:

1.$\phi(n)/\varphi(n)$ 欧拉函数 表示1~n中与n互质的数的个数。$\phi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]$

2.$\mu(n)$ 莫比乌斯函数 上面应该已经说的很清楚了,不再赘述。

3.$d(n)$ 约数个数 表示n的正因子个数 $d(n)=\sum\limits_{d|n}1$

4.$\sigma(n)$ 约数和函数 表示n的所有正因子之和 $\sigma(n)=\sum\limits_{d|n}d$

5.$\epsilon(n)/e(n)$ 元函数 对于狄利克雷卷积的乘法单位 $\epsilon(n)=[n==1]$

6.$1(n)$ 恒等函数 恒为1 $1(n)=1$

7.$Id(n)$ 单位函数 就是本身的大小 $Id(n)=n$

若函数f对于任意一个正整数对(a,b)都满足$f(a*b)=f(a)*f(b)$,那么我们把函数f称作完全积性函数。

上面积性函数例子的5,6,7都是完全积性函数。

所有狄利克雷特征(一种数论函数,想了解的问度娘去)都是完全积性函数。

下面,我们正式开始讲解狄利克雷卷积。

 定义一种运算$*$,对于函数f,g满足$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$,我们把这种运算$*$称作狄利克雷卷积。

狄利克雷卷积满足交换律,结合律以及分配律。

上面解释元函数$\epsilon(n)$时说到元函数是对于狄利克雷卷积的乘法单位,元函数可以在狄利克雷卷积中充当单位元,即$f*\epsilon=f$。

对于一个函数f,如果$f(1)\neq 0$,则都存在函数g满足$f*g=1$,我们把g称作f的逆元。

从某巨神的博客偷的逆元式子:

$g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum\limits_{d|n,d\neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})\right)$

$\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{1})=f(1)g(n)+\sum\limits_{d|n,d\neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})=[n==1]$

下面列举几种卷积关系:

1.$d=1*1$

2.$\sigma=d*1$

3.$Id=\phi*1$

4.$\epsilon=\mu*1$

5.$\phi=\mu*Id$

6.$1=\mu*d$

证明:

1,2显然(直接把函数表达式代入就行了)。

3:

\begin{array}{lcl}Id(n) & = & \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[gcd(i,n)==j] \\& = & \sum\limits_{j|n}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[gcd(i,\frac{n}{j})==1] \\& = & \sum\limits_{j|n}\phi(\frac{n}{j}) \end{array}

即 $Id=\phi*1$

其实就是欧拉函数的一个性质:$\sum\limits_{d|n}\phi(d)=n$

4就是莫比乌斯函数的性质一,上面已经证明过,不再赘述。

5:

我好像说莫比乌斯函数的性质二要在讲狄利克雷卷积时证明?

这个5其实就是$\mu(n)$的性质二。

\begin{array}{cc}Id & = & \phi*1 \\Id*\mu & = & \phi*1*\mu \\Id*\mu & = & \phi*\epsilon \\Id*\mu & = & \phi \\ \sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}  & = & \phi(n) \\ \sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} & = & \frac{\phi(n)}{n} \end{array}

证毕。

6.

\begin{array}{cc}d & = & 1*1\\d*\epsilon & = & 1*1\\ d*\mu*1 & = & 1*1\\ d*\mu & = & 1 \end{array}

证毕。

莫比乌斯反演

$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$

另一种形式:$f(n)=\sum\limits_{n|d}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$

我们先证明第一种形式。

已知$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$

则\begin{array}{lcl}\sum\limits_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) & = & \sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}g(i) \\& = & \sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}\mu(d)g(i) \\& = & \sum\limits_{i|n}\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)g(i) \\& = & \sum\limits_{i|n}g(i)\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}\mu(d) \\& = & g(n)\end{array}

得证。

然而事实上可以用狄利克雷卷积证明。

 $f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$可以表示为$f=g*1$

则\begin{array}{lcl}f*\mu & = & g*1*\mu \\& = & g*(1*\mu) \\& = & g*\epsilon \\& = & g \end{array}

带入就可以得到莫比乌斯反演的两种形式了……

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转载自www.cnblogs.com/remarkable/p/11364178.html
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