版权声明：个人笔记，仅供复习 https://blog.csdn.net/weixin_41162823/article/details/86665549
以下笔记整理自：《算法设计编程实验》吴永辉
1.结论
1.1 莫比乌斯函数：莫比乌斯函数可以看做一个辅助函数，它在莫比乌斯反演公式中用到。
1.2 莫比乌斯反演：莫比乌斯反演公式是 根据和函数来求算数函数的一个公式。
1.3 算数函数：所有在正整数上运算的函数称为算数函数。
1.4 和函数：设 f 是算数函数，f 的和函数为。其中d为n的约数，所以 f 的和函数F(n)就是n的所有约数的算数函数之和。
1.5 总结：如果我们已知和函数，想求其对应的算数函数，那么我们可以根据和函数的定义来反推其算数函数，反推出的公式叫莫比乌斯反演公式。又因为莫比乌斯反演公式具有普适性与抽象性（即对求每个算数函数，该公式都适用），为了达到这种普适性，需要一个辅助函数，就叫做莫比乌斯函数，它本质上是和函数的系数。
2.前置概念
2.1 欧拉函数：定义自寻。设n的欧拉函数为phi（n）。
2.2 积性函数：定义自寻。欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。
2.3 欧拉函数公式：
- 如果p是一个素数，且k是正整数，则phi（p^k） = p^k - p^(k-1)。
- 如果m和n是互素的正整数，则phi（mn） = phi（m）*phi（n）。
2.4 唯一分解定理：即任意一个自然数n都可以分解为若干个素数之积（没说不同素数啊）。
3.莫比乌斯函数
3.1 莫比乌斯函数的作用：见1.1。
3.2 莫比乌斯函数的定义：
如果n有平方因子，则；如果n没有平方因子，并且分解后有奇数个素因子，则
；如果n没有平方因子，且分解后有偶数个素因子，则
。
3.3 莫比乌斯函数求法（伪代码）：
3.4 代码实例：
4.莫比乌斯反演公式
4.1 莫比乌斯反演公式：设f是算数函数，F是f的和函数，，则
，其中n是正整数。
4.2