莫比乌斯反演
1. 定义
对于一个定义在非负整数上的函数 ,定义函数 。
那么有如下结论:
其中:
2.莫比乌斯函数的性质&证明
性质1:
证明:
n=1时显然成立;
n>1时:
那么易知
由二项式定理:
取
性质2:
莫比乌斯反演定理的证明:
最后两步的解释:
我们枚举d’,因为
3.莫比乌斯函数的筛法
线性筛法:
int pri[N];int cnt=0;
bool vis[N];
int mu[N];
inline void prepare()//线性筛法求 mu(d)
{
vis[1]=1;
for(register int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i]) {pri[++cnt]=u;mu[i]=-1;}
for(register int j=1;j<=cnt&&((1ll*pri[j]*i)<=n);j++)
{
vis[pri[j]*i]=1;
if(i%pri[j]==0) {mu[i*pri[j]]=0;break;}//此时有两个相同因子
mu[i*pri[j]]=-mu[i];//新加一个相异质数;
}
}
return ;
}
4.应用
注:以下除法未说明均为向下取整。
其实莫比乌斯反演还有另一种描述:
证明类似:
首先知道若 那么 。
一般都用这种
担心d会无限增大?F(d)这时就会没贡献了
1.一道简单例题:
现在要求
,套用公式就是:
即
易知
那么
这样我们其实也可以轻松求出
的对数,因为
中
的数的对数即为
的数的对数。
所以就是:
(可以理解为枚举了
然后还可以对除法进行分块,并求出
的前缀和,即可达到每次
的回答
虽然预处理有O(n)
贴个代码 LupguP2522 [HAOI2011]Problem b
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0;char ch=getchar();int t=1;
for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=-1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
return x*t;
}
const int N=5e4+10;
int mu[N];
typedef long long ll;
int pri[N];int cnt;bool vis[N];
inline void prepara()
{
mu[1]=1;vis[1]=1;
for(register int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i]) {pri[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
for(register int j=1;j<=cnt&&(1ll*pri[j]*i<N);j++)
{
register int x=i*pri[j];
vis[x]=1;
if(i%pri[j]==0) {mu[x]=0;break;}
mu[x]=-mu[i];
}
}
for(register int i=1;i<N;++i) mu[i]+=mu[i-1];
}
inline ll calc(int a,int b,int c)
{
if(a>b) swap(a,b);
if(a==0) return 0;
a/=c;b/=c;
register ll res=0;
register int l,r;
for(l=1;l<=a;l=r+1)
{
r=min(a/(a/l),b/(b/l));
if(r>a) r=a;
res+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(a/l)*(b/l);
}
return res;
}
int main()
{
prepara();
int T=read();
while(T--)
{
register int a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),e=read();
if(e==0) {puts("0");continue;}
register ll ans1=calc(b,d,e)-calc(a-1,d,e);
register ll ans2=calc(b,c-1,e)-calc(a-1,c-1,e);
//这题还要容斥一波
printf("%lld\n",ans1-ans2);
}
}
2.再来几道题
3.小结:
由上面几道题可以看出:
常用套路:
○1.过硬的推式子能力,灵活变更枚举数的顺序
○2.根据式子列出相关函数并利用莫比乌斯反演公式进行求解
○3.利用莫比乌斯函数的性质对式子进行化简,变形