莫比乌斯反演(二)：莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

前言

莫比乌斯函数，数论函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用 $\mu(d)$作为莫比乌斯函数的记号。而据说，高斯(Gauss)比莫比乌斯早三十年就曾考虑过这个函数。莫比乌斯函数在数论中有着广泛应用。

莫比乌斯函数  $\mu(d)$

莫比乌斯函数表达式：
$\mu(d)=\begin{cases} 1,\qquad d=1\\ -1^k, \qquad d = p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdots p_k\quad({p_i } \neq p_j)\\ 0, \qquad otherwise\\ \end{cases}$

由上式可知 $\mu(6) = 1$ 因为 $6=2*3$，而 $\mu(12) = 0$ 因为 $12 = 2*2*3 = 2^2*3$。
特别需要注意的是 $\mu(1) = 1$。

莫比乌斯函数的性质

1. 约束求和：
   $\sum_{d|n}\mu{(d)}=\left[\frac{1}{n}\right]= \begin{cases} 1, &\text{ $n=1$}\\ 0, &\text{ $n>1$}\\ \end{cases}$
   或者
   $\sum_{d|n}\mu{(d)}=\left[n=1\right]$
   PS： $[n=1]$ 表示当 $n=1$ 时为 $1$ ，否则为 $0$ 。
   证明：当 $n=1$ 时，显然成立。当 $n>1$ 时，将 $n$ 改写为 $p_1\cdot p_2 \cdots p_k$。
   设集合 $P = \{p_1,p_2,\cdots,p_k\}$ 。
   若使 $d|n$ ,当且仅当 $d$ 为集合 $P$ 中的某些元素的乘积。因此可得：
   $\begin{aligned}\sum_{d|n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_1 p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2p_3)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k)\\ =&C_k^0\times(-1)^0+C_k^1\times(-1)^1+C_k^2\times(-1)^2+C_k^3\times(-1)^3+\cdots+C_k^k\times(-1)^k\\ =&0\end{aligned}$
2. 这个性质只列出，暂时不作证明
   $\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$

以上两条是莫比乌斯函数最常用的性质。

莫比乌斯函数筛法

1.最简单的筛法:

void get_mu() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 1; i < maxn; i++) {
        for (int j = i + i; j < maxn; j += i) {
            mu[j] -= mu[i];
        }
    }
}

2.线性筛法

void get_mu() {
  mu[1] = 1;
  for (int i = 2; i < maxn; i++) {
    if (vis[i] == false) {
      prime[cnt++] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; j++) {
      vis[i * prime[j]] = true;
      if (i % prime[j] == 0) {
        mu[i * prime[j]] = 0;
        break;
      } else {
        mu[i * prime[j]] = -mu[i];
      }
    }
  }