【普通版】首先是一道单纯的容斥题目（hdu4135）：
求[a,b]内与n互质的数的个数，n<=10^9，a,b<=10^14.
可以先用容斥求出[a,b]与n不互质的数的个数，再相减。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main (){
int t,cnt=0;
cin>>t;
while(t--){
ll a,b,n;
scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n);
vector<int> v;
for(int i=2;i*i<=n;++i){
if(n%i==0){
v.push_back(i);
while(n%i==0)
n/=i;
}
}
if(n>1)
v.push_back(n);
ll s1=0,s2=0;
a--;
for(int i=1;i<(1<<v.size());++i){
ll s=1,p=0;
for(int j=0;j<v.size();++j){
if(i&(1<<j)){
s*=v[j];
p++;
}
}
if(p%2==1){
s1+=a/s;
s2+=b/s;
}
else{
s1-=a/s;
s2-=b/s;
}
}
printf("Case #%d: %I64d\n",++cnt,(b-s2)-(a-s1));
}
return 0;
}
【加强版】(hdu1695)在[1,b]中取一个数x，[1,d]中取一个数y，满足gcd(x,y)=k。求(x,y)的对数。bdk<=10^5,ac=1
这题可以有三种做法：[直接对质因子容斥]或者[欧拉函数优化+容斥]或者[莫比乌斯反演]。最后一种效率最高。
用欧拉函数做的那种方法可以参考上一个题解。由于k是定值所以不用枚举了。gcd(x/k,y/k)=1.
【直接对质因子容斥】
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100005
typedef long long ll;
vector<int> x[N];
bool is[N];
void prime(){
memset(is,false,sizeof(is));
for(int i=0;i<N;i++) x[i].clear();
for(int j=2;j<N;j+=2) x[j].push_back(2);
for(int i=3;i<N;i+=2)
if(!is[i]){
for(int j=i;j<N;j+=i){
is[j]=true;
x[j].push_back(i);
}
}
}
int work(int u,int s,int w){
int cnt=0,v=1;
for(int i=0;i<x[w].size();i++){
if((1<<i)& s){
cnt++;
v*=x[w][i];
}
}
int all=u/v;
if(cnt%2==0)return -all;
else return all;
}
int main(){
prime();
int T,a,b,c,d,k;
scanf("%d",&T);
for(int cas=1;cas<=T;cas++){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
if(k==0){
printf("Case %d: 0\n",cas);
continue;
}
b /= k,d /= k;
if(b>d){ a=b;b=d;d=a;}
long long ans=0;
for(int i=1;i<=d;i++){
k=min(i,b);
ans+=k;
for(int j=1;j<(1<<x[i].size());j++)
ans-=work(k,j,i);
}
printf("Case %d: %I64d\n",cas,ans);
}
return 0;
}【欧拉函数优化+容斥】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max=100005;
__int64 elur[Max];//存放每个数的欧拉函数值
vector<int> p[Max];//存放数的素因子
void init(){//筛选法得到数的素因子及每个数的欧拉函数值
elur[1]=1;
for(int i=2;i<Max;i++){
if(!elur[i]){
for(int j=i;j<Max;j+=i){
if(!elur[j])
elur[j]=j;
elur[j]=elur[j]*(i-1)/i;
p[j].push_back(i);
}
}
elur[i]+=elur[i-1]; //进行累加（法里数列长度）
}
}
int main(){
int t,a,b,c,d,k;
init();
scanf("%d",&t);
for(int ca=1;ca<=t;ca++){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
printf("Case %d: ",ca);
if(k==0){
printf("0\n");
continue;
}
if(b>d)
swap(b,d);
b/=k; d/=k;
__int64 ans=elur[b];
for(int i=b+1;i<=d;i++){
ans+=b;
for(int j=1;j<(1<<p[i].size());++j){ //求不大于b的数中,与i不互质的数的个数
int s=1,w=0;
for(int k=0;k<p[i].size();++k){
if(j&(1<<k)){
s*=p[i][k];
w++;
}
}
if(w%2==1)
ans-=b/s;
else
ans+=b/s;
}
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}【莫比乌斯反演】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1000000;
bool check[MAXN+10];
int prime[MAXN+10];
int mu[MAXN+10];
void Moblus(){
memset(check,false,sizeof(check));
mu[1]=1;
int tot=0;
for(int i=2;i<=MAXN;i++){
if( !check[i] ){
prime[tot++]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=0;j<tot;j++){
if(i*prime[j]>MAXN)break;
check[i*prime[j]]=true;
if( i%prime[j]==0){
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
else{
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
}
int main(){
int T;
int a,b,c,d,k;
Moblus();
scanf("%d",&T);
int iCase=0;
while(T--){
iCase++;
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
if(k==0){
printf("Case %d: 0\n",iCase);
continue;
}
b /= k;
d /= k;
if(b>d)swap(b,d);
long long ans1=0;
for(int i=1;i<=b;i++)
ans1+=(long long)mu[i]*(b/i)*(d/i);
long long ans2=0;
for(int i=1;i<=b;i++)
ans2+=(long long)mu[i]*(b/i)*(b/i);
ans1-=ans2/2;
printf("Case %d: %I64d\n",iCase,ans1);
}
return 0;
}