[总结] 莫比乌斯反演(附模板)

莫比乌斯反演

懵逼钨丝繁衍,你值得拥有

莫比乌斯反演是啥

若我们需要一个函数$f(x)$,它非常的不好求
同时我们有一个函数$F(x)$,它非常的好求
并且$f(x)$与$F(x)$之间的关系为:

$$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$$
或者
$$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$$
那么我们就可以得到 $f(x)$的计算式
$$f(x)=\sum_{d|n}\mu(n/d)f(d)$$
或者是
$$f(x)=\sum_{n|d}\mu(d/n)f(d)$$
其中 $\mu(x)$是莫比乌斯函数
定义为
$$\begin{cases} \mu(1)=1\\ \mu(x)=(-1)^k &\text{$x=p_1*p_2*\cdots*p_k,p_1>p_2>\cdots>p_k,p\in prime$}\\ \mu(x)=0 &\text{$otherwise$} \end{cases}$$
$\mu$可以在线性时间内处理出来(利用素数筛)

其实本质上这就是一个很巧妙的容斥

莫比乌斯反演有啥用

首先可以把不好求的$f(x)$求出来
其次还是可以把不好求的$f(x)$求出来
其实就是将求$f(x)$的巨大时间复杂度转化为求$F(x)$

非常的舒服

给道例题练练手

BZOJ 1101 Zap

当$x<=a,y<=b$,有多少组$(x,y)$满足$gcd(x,y)=d$

用$f(n$表示在$[1,a],[1,b]$中$gcd(x,y)$等于$n$的个数
用$F(n)$表示在$[1,a],[1,b]$中$gcd(x,y)$是$n$的倍数的个数

显然我们会得到

$$F(n)=\sum_{n|d}^{min(a,b)}f(d)$$
这满足莫比乌斯函数的要求
于是 反演一下
得到 $f(n)$表达式
$$f(n)=\sum_{n|d}^{min(a,b)}\mu(d/n)*F(d)$$

我们需要的是$gcd(x,y)=d$
那么转化为求$f(d)$
显然求$f(d)$的时间复杂度为$O(min(a,b)/d)$
鉴于询问有50000组,所以最坏情况时间复杂度为$O(50000*50000)$
挂掉

所以需要优化
转化一下原来的式子
当$x<=a,y<=b$,有多少组$(x,y)$满足$gcd(x,y)=d$
等价于
当$x<=a/d,y<=b/d$,有多少组$(x,y)$满足$gcd(x,y)=1$
这样相当于

$$a'=\left \lfloor \frac{a}{d} \right \rfloor,b'=\left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor$$
$$F(n)=\sum_{n|x}^{min(a',b')}f(x)$$
求 $f(1)$
$$f(1)=\sum_{x}^{min(a',b')}\mu(x)*F(x)$$

式子非常的优美,其中

$$F(x)=\left \lfloor \frac{a'}{x} \right \rfloor * \left \lfloor \frac{b'}{x} \right \rfloor$$
显然的,在求和过程中
$F(x)$是单调不增的,并且 $\left \lfloor \frac{a'}{x} \right \rfloor*\left \lfloor \frac{b'}{x} \right \rfloor$最多都只有
$\sqrt{a'}+\sqrt{b'}$种取值,那么分块求和即可

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50010;
int t,a,b,d;
int mu[N],pri[N],sum[N],tot;
bool mark[N];
void get() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;++i) {
        if(!mark[i]) {
            pri[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=50000;++j) {
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=50000;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
void work() {
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
    a/=d;b/=d;
    if(a>b) swap(a,b);
    int pos=0,ans=0;
    for(int i=1;i<=a;i=pos+1) {
        pos=min((a/(a/i)),(b/(b/i)));
        ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main() {
    get();
    scanf("%d",&t);
    while(t--) work();
    return 0;
}

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加油吧,骚年