1244 莫比乌斯函数之和

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1244 莫比乌斯函数之和
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莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：
如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + …… miu(b)。
例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。
Input
输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)
Output
输出S(a, b)。
Input示例
3 10
Output示例
-1

sol:

杜教筛模板，顺便放点自己整理的东西。

• $Dirichlet$卷积:

  • $(f*g)(n)=\sum_{d|n}{f(d)\cdot g(\frac{n}{d})}$
  • 交换律 : $f*g=g*f$
  • 结合律 : $(f*g)*h = f*(g*h)$
  • 分配率 : $f*(g+h) = f*g + f*h$
  • 元函数 : $f * e = f$

• 通用形式

  • $f(n)$ 为数论函数,求$S(n) = \sum_{i=1}^{n} f(i)$ ,构造 $S(n)$ 关于 $S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$的递推式
  • 如果有一个比较好求前缀和的数论函数 $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i} f(d)g(\frac{i}{d}) &= \sum_{ \frac{i}{d} =1}^{n} g(\frac{i}{d})\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{\frac{i}{d}}\rfloor} f(d) \\&= \sum_{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor)\\ \end{aligned}$$
  • $g(1)S(n) = \sum_{i=1}^{n} (f*g)(i) - \sum_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor)$

• 常用前缀和结论

  • $e = id * \mu$
    $\Rightarrow M(n) = 1- \sum_{i=2}^{n} M(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor)$
  • $id = I* \varphi$
    $\Rightarrow \phi(n) = \frac{(n+1)(n)}{2} - \sum_{i=2}^{n}\phi(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor)$
  • $(id \cdot \varphi) * id = id^2$
    $\Rightarrow \phi'(n)=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n}{i\cdot\phi'(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)}$

code:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<map>

using namespace std;

const int maxn = 1.2e7+10;
const int sq = 3e5+10;
typedef long long ll;
typedef __int128 lll;

int tot;
bool check[maxn];
ll mu[maxn];
int primes[maxn>>1];
ll ms[sq][2];
ll n;

void init(){
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!check[i]){
            primes[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++){
            if(primes[j]*i>=maxn) break;
            check[i*primes[j]]=true;
            if(i%primes[j]==0) {
                mu[i*primes[j]]=0;
                break;
            }else{
                mu[i*primes[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}

ll mobi(ll x){
//  cout<<x<<endl;
    if(x<maxn) return mu[x];
    ll& ret = x < sq ? ms[x][0] : ms[n/x][1];
    if(ret != -1) return ret;
    ll ans=1;
    for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1){
        ll m = x/i;
        j = x/m;
        ans-=(j-i+1)*mobi(m);
    }
    return ret = ans;
}

int main(){
    init();
    ll a,b;
    lll c = a;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    memset(ms,-1,sizeof(ms));
    n = b;
    ll ans=mobi(b);
    memset(ms,-1,sizeof(ms));
    n = a-1;
    ans -= mobi(a-1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}