一：常用卷积
\[1 * \mu = \epsilon\]
\[Id * \mu = \varphi\]
\[1 * \varphi = Id \]
最后一个是欧拉反演.
根据这些卷积之间的相互转化，在推式子时只要够敏感，就能巧妙地化简。（如P3768简单的数学题）
二： 推式子的技巧
1. 改变枚举对象、枚举顺序
比如
\[ \begin{aligned} 1. &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=p]\\ =&\sum_{x=1}^{\frac{n}{p}}\sum_{y=1}^{\frac{n}{p}}[gcd(i,j)=1]\\ 2.&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\\ =&\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)=1] \end{aligned} \]
当一个一个数不受之前的 \(\sum\) 限制时可提前
2. 替换变量，优化复杂度(式子中不必要的枚举)
比如求这个：
\[ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^nk\sum_{d=1}^\frac{n}{k}\mu(d)\frac{n}{dk}\frac{m}{dk}\\ =&\sum_{T=1}^n\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{d|T}\frac{T}{d}\mu(d) \end{aligned} \]
为什么这样？
其实替换变量也是为了改变枚举顺序，然后就可以愉快地整除分块了。
3. 一些连乘可以化成指数的 \(\sum\) 形式
这里不展开叙述 (其实是写的题太少)
三： 筛积性函数前缀和
如果一道题数据范围 \(1e10\)， 大多都要用杜教筛
感谢 青灯夜游's Luogu blog 给出的一种线性筛积性函数的通用方法:
假设 \(g=f*h\), 是我们所要求的函数
定义 \(low(i) = p^c\), \(p\) 为 \(i\) 的最小质因子，\(c\) 为 \(i\) 质因数分解后 \(p\) 的指数.
线筛时，当 \(i \% prime[j] == 0\) 时
1: \(low(i)\ne i\)
\[g(prime(j)\times i)=g(\frac{i}{low(i)})\times g(prime(j)\times low(i))\]
2: \(low(i)=i\)
\[g(prime(j)\times i)=g(i)\times f(prime(j))+f(1)\times h(prime(j)\times i)\]
题目：
P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB
由于本蒟蒻做题太少未完待续...