矩阵分析(一)：Hermitian矩阵、二次型与正定矩阵

1. Hermitian矩阵

Hermitian矩阵为满足 ${\bf A}^{\rm H}={\bf A}$的正方复矩阵，或称为复共轭对称矩阵。

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2. 矩阵的二次型

任意一个正方矩阵 ${\bf A}$的二次型定义为 ${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}$，其中 ${\bf x}$可以是任意的非零复向量。

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3.正定矩阵

一个Hermitian矩阵 ${\bf A}$被称为：
（1）正定矩阵，记作 ${\bf A\succ0}$，若二次型 ${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}>0$， $\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$；
（2）半正定矩阵，记作 ${\bf A\succeq0}$，若二次型 ${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}\ge0$， $\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$（也称非负定）；
（3）负定矩阵，记作 ${\bf A\prec0}$，若二次型 ${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}<0$， $\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$；
（4）半负定矩阵，记作 ${\bf A\preceq0}$，若二次型 ${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}\le0$， $\forall{\bf x}\ne{\bf 0}$（也称非正定）；
（5）不定矩阵，若二次型 ${\bf x}^{\rm H}{\bf Ax}\le0$既可能取正值，也可能取负值。