现代复习——第5章相似矩阵及二次型

&1向量的内积,长度,及正交性

$x= \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{matrix} \right)$
$y= \left( \begin{matrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{matrix} \right)$
$[x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$ 称之为向量x,y的内积
内积具有一下性质
$$
1.[x,y]=[y,x]\
2.[\lambda x,y]=\lambda[x,y]\
3.[x+y,z]=[x,z]+[y+z]
$
施瓦兹不等式 $[x,y]^2 \leqslant [x,x][y ,y]$
范数
$\left \|x \right \|= \sqrt {[x,x]}=\sqrt {x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$
$\left \|x \right \|$称为n维向量x的长度
向量的长度有以下性质

1. 非负性 当x≠0时,||x||>0时,||x||>0,当x=0时,||x||=0
2. 齐次性 ||λx||=|λ| ||x||
   定义:当x≠0&&≠0时,θ=arccos $\frac{[x,y]}{\|x\|\|y\|}$
   定理1:诺n维向量是a₁…a_r是一组两两正交的非零向量,则a₁…a_r线性无关
   标准正交基:设n维向量e1…er是向量空间V的一个基,如果e1…er两两相交,且都是单位向量,则e1…er是V的一个标准基
   设a1…ar是向量空间v的一个基,要求V的一个标准基,也就是找一组两两相交的单位向量,e1…er使得e1…er与a1…ar等价,这个问题称之为及a1…ar的标准正交化.
   可以用下面的方法正交化
   $b_=a_1\\ b_r=a_r-\frac{[b_1,a_r]}{[b_1,b_1}b_1-\cdots-\frac{[b_{r-1},a_r]}{[b_r,b_r]}\\ e_r=\frac {b1}{\|br\|}$
   上述从无关向量组a₁…a_r到处正向向量组b₁,b₂的过程称为施密特正交化,(对任何b₁…b_k,[1≤k≤r]),向量组皆等价
   正角阵:A^TA=E(即A^-1=A^T),则称A为正交矩阵
   方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位矩阵,且两两正交
   A为正交矩阵,A^-1=A^T也是正交矩阵,且|A|=-1或(-1)
   A和B都是正交矩阵,则AB也是正交矩阵
   定义5:诺P为正交矩阵,则线性变换y=Px称之为正交变换

&2方阵的特征值与特正向量

定义6:设A是n皆方阵,如果数λ鱼n维非零向量x让关系式满足:Ax=λx,则称数λ是矩阵A的特征值,非零向量x称为A对应与特征值λ的特征向量
也可以写成(A-λE)x=0即矩阵A的特征方程,记作λ,f(λ)称之为矩阵A的特征多项式,A是特征多项式的解
λ²是A²的特征值
当A可逆时, $\frac{1}{\lambda}是A^{-1}$的特征值
A^*=|A|A^-1,|A|=λ₁…λ_n
定理2设λ₁…λ_n是方阵A的m个特征值,p₁ …p_n是与之对应的特征向量,如果λ₁…λ_n各不相等,则p₁ …p_n线性无关