【矩阵论】Hermite二次型（1）

Hermite二次型之H阵、正规阵

我们在广义线性空间中讨论的hermite二次型都可以看做是在线性代数中讨论的实二次型的一个推广。

我们先来回顾一下在线性代数中学习实二次型的思路，从而可以更加清晰地进行类比和拓展。
在实二次型中，我们首先讨论定义→然后将每一个二次型都与一个矩阵进行对应，从而得到实对称矩阵

因此在表达二次型的相关问题或定理时，我们既可以采用多项式的语言进行描述，也可以采用矩阵的语言进行描述。
对于一个实对称矩阵，我们又经常关注以下三个问题：

• 实对称矩阵的标准形（每一个二次型都可以通过一个可逆线性变换，将其变成只含平方项的二次型）
• 实对称矩阵标准形的唯一性（惯性定理）
• 实二次型的正定性
  

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一. Hermite矩阵与Hermite二次型

1. 定义

以上，我们就二次型和矩阵之间建立了一一对应的关系。

按照实二次型的学习思路，接下来我们就要分析这个二次型（或与之对应的矩阵）满足怎样的性质。

下一部分会对H二次型（H阵）的性质进行详细说明，这里说一些简单的小结论：

• H阵的主对角线元素都是实数

因为A^H = A，所以应该有a_ij^共轭 =a_ji，那么当i = j的时候，就有a_ii = a_ii^共轭，说明主对角线上的元素都是实数。

• 如果矩阵A是一个实数阵，那么条件A^H = A就退化成了A^T = A，说明实二次矩阵是H阵的一种特例。

能确定一H阵是一个实数阵，可以带来很多优良性质，比如：
①实数阵的特征值都是实数
②实数阵属于不同特征值的特征向量是相互正交的
③每一个实数阵，都可以通过一个正交阵，将其变换成一个对角阵。

将上面的结论在H阵上进行推广，就得到H阵相应的性质。

2. 性质

（1）定理1：H阵的特征值均是实数

【证明】
p.s. 在H阵上性质和命题的证明，大多都可以直接借鉴线性代数中国讨论实二次型所用的证明方法。

[1]：按照题目的要求，写出H阵满足的关系A^H = A，以及设出A相应的特征值和特征向量
[2]：对于Aη = λ₀η这个式子，两边同时左乘η^H
[3]：等式右边，可以将系数λ₀提到最前面
[4]：等式左边，用A^H代换A，利用共轭转置运算的性质进行变换，注意对于一个数λ₀进行共轭转置，实质就是取共轭
[5]：等式左边和右边进行对照，因为η^Hη是向量内积的定义，而η不是零向量，所以η^Hη≠0，可以同时约掉。

（2）定理2：H阵的属于不同特征值的特征向量相互正交

【证明】
p.s. 首先来回顾一下，向量正交与向量内积之间的关系。Cⁿ中的两个向量α与β，若α⊥β↔<α，β> = β^Hα = 0


[1]：根据题意，对矩阵A，分别设出两个不同的特征值和其对应的特征向量
[2]：对于Aη₁ = λ₁η₁，等式两边同乘η₂^H
[3]：等式右边化简，将系数λ₁提到前面
[4]：等式左边化简，用到的技巧与定义1证明一样。
[5]：因为等式左右两边要相等，且λ₁≠λ₂，因此只可能η₂^Hη₁ = 0.

（3）定理3：若A是H阵，则一定存在酉矩阵U，使得U^HAU是对角阵

【证明】
对比一下线代中实二次型的结论“若A是实对称矩阵，则一定存在一个正交矩阵Q，使得Q^TAQ = Λ”
把握这里的两个推广关系，酉矩阵是正交矩阵的推广；H阵是实对称矩阵的推广。

p.s. 定理3既可以采用线代中的思路来证明，也可以借助Schur引理证明，这里我们采用后者，关于Schur引理的描述、证明以及应用不了解的可以移步《【矩阵论】矩阵的相似标准型（2）》

[1]：根据Schur引理，每一个复数域矩阵A，都存在相应的酉矩阵U，使其变成上三角矩阵，这里设上三角矩阵为R
p.s. 接下来，若需要证明A可以对角化，则只需要证明R^H = R即可

[2]：根据R的定义以及共轭转置运算的性质，可以推出相应结论。

注意：定理3只能保证必要性，但充分性（从右向左推导）不成立，反例如下：
对于矩阵A能够找到相应矩阵U使之对角化，但是矩阵A不是H阵，因为对角线元素非实数

结论延伸：
因为U是一个酉矩阵，所以一定有U^H = U^-1，因此原定理也可以写作U^-1AU = Λ，即A可以对角化。

• Λ的主对角元就是矩阵A的特征值
• 酉矩阵U的各列就是矩阵A对应于各特征值的特征向量

p.s. 且因为U矩阵的各列是Cⁿ空间的一组标准正交向量基，所以我们通过矩阵U找到的这一组特征向量，是两两正交的单位向量。

• A是一个n阶的H阵→A有n个两两正交的单位特征向量

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二. 正规阵

前面对H矩阵的定理三我们进行了较为深入的讨论，也知道一个矩阵是H阵只是该矩阵可以对角化的充分条件，我们希望可以找到“矩阵能够对角化”的充分必要条件。

1. 定义

设A∈C^nxn，若A^HA = AA^H，则称A是正规阵。

意味着某个矩阵和其共轭转置阵的乘法运算是可交换的。

常见正规阵举例：H阵，酉矩阵，反H阵(A^H = -A)

2. 定理

（1）若A既是上三角的，又是正规的，则A必是对角阵。

【证明】

采用数学归纳法的思路进行证明。

①当dim = 1时，显然单个元素就是上三角矩阵，也是一个正规阵；

②假设当dim = n-1时结论成立，也就是说，如果n-1阶的某个矩阵是上三角的，且也是正规的，那么该矩阵就应该是对角矩阵；

③现在对dim = n的情况进行讨论：现已知一个n阶矩阵是上三角且正规的，需要证明该矩阵是对角阵

对于给定的一个n阶上三角矩阵A，写出其分块形式
其中a₁₁是单个元素，α是行向量，θ是全零列向量，A₁是n-1阶的上三角矩阵。

又根据已知，A同时还是一个正规阵，所以把A^H也写出来，对AA^H和A^HA进行计算，且计算结果应该对应相等。

在左上角的分块中，则应该有αα^H = 0，又因为α是一个行向量，故<α，α> = 0→α = θ；
在右下角的分块中，因为α = θ，所有α^Hα的结果是零矩阵，则可以得到A₁^HA₁ = A₁A₁^H.

根据我们前面对矩阵A的分块，A₁是一个上三角矩阵；又根据上式的推导，A₁也是一个正规阵，所以根据归纳假设，得知A₁也是一个对角阵。

再看回到矩阵A的分块形式中，α已知是零向量了，A₁也已知是对角阵了，且右上角分块也是全零，则矩阵A也是一个对角阵。
从而，数学归纳法证毕。

（2）A∈C^nxn是正规阵 ↔ A酉相似于对角阵

给出了判定某一矩阵是正规阵的充分必要条件

充分性：

[1]：已知A酉相似于对角阵，则可以写出A与对角阵相似的矩阵等式，并相应得到A矩阵和A^H矩阵的形式

[2]：分别计算A^H和A的左乘与右乘，两个结果要对应相等，只需要ΛΛ^H和Λ^HΛ相等即可。
p.s. 而Λ是一个对角阵，任意两个对角阵的乘法都是可交换的

必要性：

[1]：根据Schur引理，对于任意一个矩阵A，可以通过酉变换将其变成一个上三角矩阵R。写出R矩阵和R^H矩阵相应的表达式。
[2]：计算R和R^H的左乘结果与右乘结果；因为矩阵A是正规阵，所以有A^HA = AA^H，则代入后相应可得到R^HR = RR^H,说明R矩阵也是一个正规阵。
因为R是一个上三角矩阵且R也是一个正规阵，所以R是一个对角阵。

综上，我们就得到了A矩阵可以通过酉变换得到对角阵，也就是A酉相似于对角阵。

意义：在正规阵和对角阵之间建立了一个联系。

我们知道对角阵有很多优良的性质，后续我们在讨论正规阵的若干性质或命题的时候，就可以通过酉变换，将其变成一个对角阵来讨论。

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【例】- 1 证明两个正规阵相似的充要条件是它们具有相同的特征多项式

之前我们在讨论两个矩阵相似时，知道如果矩阵相似，则它们一定具有相同的特征量（特征多项式、特征值），但反之不一定成立。

通过这个结论，我们会看到，加上“正规阵”的限制条件之后，相同的特征多项式就提升成为了充要条件。

[1]：因为两个一般的矩阵相似，也能推导出其特征多项式相同，所以不再对该结论的必要性进行证明。
[2]：对正规阵A进行酉变换，可以得到一个主对角元（特征值）为λ_i（i=1,2…,n）的对角阵
[3]：对正规阵B进行酉变换，同样也能得到相应一个对角阵。
因为已知两个矩阵有相同的特征多项式（也就意味着有相同的特征值），所以λ_i和u_i的区别只在于元素之间的顺序不同而已，对于两个只有元素顺序不同的对角阵来说，其一定是相似的。
证毕。

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【例】 - 2 题目见下图

如果读者把矩阵论系列的博文按照顺序看到现在，应该对于上图证明题都不太陌生。

以前针对一个普通矩阵A来说，我们能得到结论1的必要性和结论2的充分性，现在因为给矩阵A进行了“正规阵”的限制，结论的强度也从而加强成充要条件。

• 结论1的必要性证明可参考《【矩阵论】矩阵的相似标准型（1）》中“最小多项式”部分的例题练习
  
• 结论2的充分性（零矩阵的任意幂乘都是零矩阵）是显而易见的，不再赘述。

结论1的充分性证明：

p.s. 截图忘记标数字1,2,3了，数字标号按照框框从上到下的顺序计数。
[1]：因为A是正规阵，按照定理，可以对A进行酉变换成一个对角阵
[2]：因为A的特征值是0或1，所以对角阵Λ的主对角线上的元素只可能是0或1，因为有0² = 0,1² = 1，所以对角阵也有Λ² = Λ
[3]：计算A²，根据酉矩阵的定义，以及对角阵Λ的特点，最终能够化简出A² = A，证毕。

结论2的必要性证明：

[1]：因为A是正规阵，所以A可以酉变换为一个对角阵
[2]：因为A是幂零矩阵，所以A^k = O,也就意味着λ^k是A的化零多项式，“化零多项式的零点是矩阵的候选特征值”，则矩阵A的特征值全为0，也就意味着A酉相似的那个对角阵也是一个零矩阵。
[3]：将Λ = O代入到A = uΛu^H中，得到A = O