计算机中的数学---相似矩阵及二次型

向量内积，长度，正交性

1.定义 设n维向量， $x={\begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ .\\ .\\ .\\ x_{n} \end{matrix}},y={\begin{matrix} y_{1}\\ y_{2}\\ .\\ .\\ .\\ y_{n} \end{matrix}}$令 $[x,y]=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},[x,y]$称为向量 $x$和 $y$的内积。
内积：
施瓦茨不等式
$[x,y]^{2}<=[x,x][y,y]$

2.定义 令 $||x||=sqrt([x,x])$，称为n维向量x的长度
4.定义 设n维向量 $e_{1},e_{2},...,e_{r}$是向量空间V的一个基，如 $e_{1},e_{2},...,e_{r}$两两正交且为单位向量，则，称其为标准正交基。

5.施密特正交化 从线性无关向量组导出单位正交向量组
已知 $a_{1},a_{2},...,a_{r}$线性无关
令 $b_{1}=a_{1},$ $b_{2}=a_{2}-[b_{1},a_{2}]/[b1,b1] b_{1},$ $...$ $b_{r}=a_{r}-[b_{1},a_{r}]/[b_{1},b_{1}] b_{1} - [b_2,a_{r}]/[b_2,b_2] b_2 - ... - [b_{r-1},a_{r}]/[b_{r-1},b_{r-1}] b_{r-1}$

再分别对 $b_{1},...,b_{r}$单位化，即可。

方阵的特征值，特征向量

1.定义 设A是n阶矩阵，如数k和n维非0列向量x，使 $Ax=kx$成立，则k称为矩阵A的特征值，非0向量 $x$称为A对应于特征值k的特征向量。

$|A - kE|=0$，构成以k为未知数的一元n次方程，称为矩阵的特征方程。

性质：
$k_1+k_2+...+k_{n}= a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$
$k_{1}K_{2}...k_{n}=|A|$

2.性质 设 $k_1,k_2,...,k_m$是方阵A的m个特征值， $p_1,p_2,...,p_m$是与之对应的特征向量，如 $k_1,k_2,...,k_m$各不相等，则 $p_1,p_2,...,p_m$线性无关

设 $k_1,k_2$是方阵A的两个不同特征值， $p_1,p_2,...,p_s$和 $q_1,q_2,...,q_t$分别是对应于 $k_1,k_2$的线性无关的特征向量，则 $p_1,p_2,...,p_s,q_1,q_2,...,q_t$线性无关。

相似矩阵

1.定义 设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使 $P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似矩阵。

若n阶矩阵A，B相似，则A,B特征多项式相同，特征值相同。

2.定理 n阶矩阵A与对角矩阵相似，充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

对称矩阵对角化

设n为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使 $P^{-1}AP=P^{T}AP=以A的n个特征值为对角元的对角矩阵$【未证明】

对称矩阵对角化步骤：
1.求出A的全部互不相等特征值 $k_1,...,k_s$
2.对每个 $n_i$重特征值 $k_i$，求方程 $(A-k_{i}E)x=0$的基础解系，得 $k_i$个线性无关特征向量，再将其正交化，单位化，得 $k_i$个两两正交单位向量
3.将n个两两正交单位特征向量构成正交矩阵P