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简单积性函数
在学习欧拉函数的时候，相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解。接下来，我们将相信介绍几种简单的积性函数，以备\(dirichlet\)卷积的运用。
定义
数论函数：在数论上，对于定义域为正整数，值域为复数的函数，我们称之为数论函数。
积性函数：对于数论函数\(f\)，若满足\(gcd(a,b)=1\)时，有\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称函数\(f\)为积性函数
简单积性函数
约数个数函数
\[\tau(n)=\sum_{k|n}1\]
约数和函数
\[\sigma(n)=\sum_{k|n}k\]
元函数
\[e(n)=\begin{cases}1\ (n=1)\\0\ (n\not =1)\end{cases}\]
恒等函数
\[I(n)=1\]
单位函数
\[\epsilon(n)=n\]
欧拉函数
\[\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(n,i)==1]\]
\(Möbius\)函数
\[n=\sum_{i=1}^kp_i^{a_i},\mu(n)=\begin{cases}1\ (n=1)\\(-1)^k\ (\forall\ c_i=1)\\0\ (\exists\ c_i>1)\end{cases}\]
简单积性函数的求解
与经典的\(Möbius\)函数和欧拉函数同理，这些积性函数都是可以通过线性筛的过程顺带地求出来的，我们不再详细讨论，具体可以参见\(hezlik\)的博客。
dirichlet卷积
定义
\(dirichlet\)卷积是数论函数之间的一种运算，我们设有两个数论函数\(f\)和\(g\)，它们的定义域为正整数\([1,n]\)，那么它们的\(dirichlet\)卷积可以如下表示：
\[(f \times g)(n)=\sum_{d|n}f(x)g(\frac{n}{d})\]
我们可以简单地用\(O(nlog_2n)\)的时间求出两个函数的\(dirichlet\)卷积，其时间复杂度可以使用调和级数证明。
\(Code:\)
inline void dirichlet(long long *a,long long *b)
{
long long res[N]={};
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j*i<=n;j++)
res[i*j] = (res[i*j] + a[i] * b[j] % Mod) % Mod ;
memcpy( a , res , sizeof res );
}性质
\(1.\) 两个积性函数\(f\)和\(g\)的\(dirichlet\)卷积仍为积性函数。
证明：
设有两个积性函数\(f\)和\(g\)，则它们的\(dirichlet\)卷积为：
\[h=f\times g=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\]
对于函数\(h\)则可以得到：
\[h(x)h(y)=(\sum_{d_1|x}f(d_1)g(\frac{x}{d_1}))(\sum_{d_2|y}f(d_2)g(\frac{y}{d_2})) \\=\sum_{d_1|x,d_2|y}f(d_1d_2)g(\frac{xy}{d_1d_2})\\=\sum_{d|xy}f(d)g(\frac{xy}{d})=h(xy)\]
故函数\(h\)为积性函数。
\(2.\) \(dirichlet\)卷积满足交换律。
证明：
设有数论函数\(f\)和\(g\)，则有
\[f\times g=\sum_{d|n}f(n)g(\frac{n}{d})\\=\sum_{d|n}g(n)f(\frac{n}{d})=g\times f\]
\(3.\) \(dirichlet\)卷积满足结合律。
证明：
设有数论函数\(f\)，\(g\)和\(h\)，则有
\[(f\times g)\times h=f\times g \times h\\=g\times h \times f=(g\times h)\times f\\=f\times (g\times h)\]
\(4.\)\(dirichlet\)卷积满足分配律。
证明：
设有数论函数\(f\)，\(g\)和\(h\)，则有
\[(g+h)\times f=\sum_{d|n}(g(d)+h(d))f(\frac{n}{d}) \\=\sum_{d|n}g(d)f(\frac{n}{d})+\sum_{d|n}h(d)f(\frac{n}{d}) \\=g\times f+h\times f\]
简单卷积
\(1.\) \(f\times e=f\)
证明：
\[(f\times e)(n)=\sum_{d|n}f(d)e(\frac{n}{d})\\=\sum_{d|n}f(d)[\frac{n}{d}==1]\\=\sum_{d|n}f(d)[n==d]=f(n)\]
由上，我们证明了\(dirichlet\)卷积这种运算的单位元为原函数\(e\)，我们可以进一步地定义出数论函数\(f\)的逆函数\(f^{-1}\)，使得\(f\times f^{-1}\)成立，可以用如下方式构造：
\[f^{-1}(n)=\begin{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{f(1)}\ (n=1)\\-\frac{1}{f(1)}\sum_{d|n\cap d<n}f (\frac{n}{d})f^{-1}(d)\ (n\not=1)\end{cases}\]
\(2.\) \(e=\mu\times I\)
证明：
考虑\(Möbius\)函数的一个性质，对于质数\(p\)和整数\(a\)满足\(p\not|a\)，有\(\mu(ap)+\mu(a)=0\)，这是可以由\(Möbius\)函数的定义得到的，那么我们设\(n=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}\)，则
\[(\mu \times I)(n)=\sum_{d|n}\mu(d)I(\frac{d}{n})=\sum_{d|n}\mu(d)\]
事实上枚举了\(n\)的每一个约数，并对其的\(\mu\)函数值进行了求和。
设\(P=\{1,p_1,p_2,...,p_{k-1}\}\)，由此可得：
\[(\mu \times I)(n)=\sum_{S\subseteq P}\left (\mu(\prod_{p\in S}p) + \mu(p_k\prod_{p\in S}p)\right )\]
由\(\mu\)函数的性质可知：
\[(\mu \times I)(n)=0\ (n>1)\]
而\(n=1\)时\((\mu \times I)(1)=1\)，所以有\(e=\mu\times I\)。
\(3.\) \(\phi=\mu\timesε\)
证明：
欧拉函数是可以用容斥原理算的，考虑到\(\mu\)函数的定义，发现\(\mu\)可以恰好可以作为欧拉函数的容斥系数，即有：
\[\phi(n)=n+\sum_{x\not =1\cap x|n}\frac{n}{x}\mu(x)\\=\sum_{x|n}\frac{n}{x}\mu(x)=(\mu \times ε)(n)\]
\(4.\) \(\sigma=I\times \epsilon\)
证明：
利用定义展开，得
\[(I\times \epsilon)(n)=\sum_{d|n}I(\frac{n}{d})\epsilon(d)\\=\sum_{d|n} d=\sigma(n)\]
\(5.\) \(\tau=I\times I\)
证明：
利用定义展开，得
\[(I\times I)(n)=\sum_{d|n}I(\frac{n}{d})I(d)\\=\sum_{d|n}1=\tau(n)\]
简单运用
\(1.\) 欧拉函数具有性质：\(n=\sum_{d|n}\phi(\frac{n}{d})\)
证明：
\[n=\epsilon(n)=(\epsilon \times e)(n)=(\epsilon\times \mu \times I)(n)\\=(\phi\times I)(n)=\phi(n)\]
\(2.\) 两次\(dirichlet\)卷积，可以得到：\(\sigma=\tau \times\phi\)
证明：
\[\sigma(n)=(I\times\epsilon)(n)=(I\times I\times\phi)(n)=(\tau \times \phi)(n)\]
\(3.\) 可以推得\(Möbius\)定理：\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\)
证明：
已知\(F=I\times f\)，试证明\(f=\mu\times F\)，可以利用\(dirichlet\)卷积推导：
\[F=I\times f \\\mu\times F=\mu \times I \times f \\\mu \times F=e \times f=f \]
运用
多数时候，对于约数求和式和一些有关数论函数的运算都可以和\(dirichlet\)卷积搭上关系，相当于可以作为推导式子的一个有用工具，其关键在于熟悉定义及其运算，重要常见的几个卷积需要我们牢记。
<后记>