积性函数与Dirichlet卷积

积性函数

定义

若 $gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

性质

若 $f(x)$ 和 $f(y)$ 均为积性函数，则以下函数为积性函数：

$h(x) = f(x^p)$

$h(x) = f^p(x)$

$h(x) = g(x)f(x)$

$h(x) = \sum_{d|x} f(d)g(\frac{x}{d})$

后面两条性质非常重要，会经常用。它说明了两个积性函数的乘积仍是积性函数、两个积性函数的Dirichlet卷积仍是积性函数。

例如，\begin{aligned}
h(x_1x_2) &= \sum_{d|x_1x_2} f(d)g(\frac{x_1x_2}{d}) \\
&= f(1)g(15) + f(3)g(5) + f(5)g(3) + f(15)g(1) \\
&= [f(1)g(3) + f(3)g(1)]*[f(1)g(5)+f(5)g(1)] \\
&= h(3)h(5)
\end{aligned}

例子

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• 单位函数：$\varepsilon(n) = [n=1]$
• 恒等函数：$id_k(n) = n^k$，$id_1(n)$ 通常简记作 $id(n)$
• 常数函数：$1(n)=1$
• 除数函数：$\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k$，$\sigma_0(n)$ 通常记作 $d(n)$ 或者 $\tau(n)$（表示约数的个数），$\sigma_1(n)$ 通常记作 $\sigma(n)$
• 莫比乌斯函数：$\mu(n)$

Dirichlet卷积

定义

定义两个数论函数 $f,g$的Dirichlet卷积为

$$(f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

性质

Dirichlet卷积满足交换律和结合律