线性筛与积性函数

线性筛

最初，线性筛只是用来筛质数罢了。。。

void sieve(int n) {
  static int v[N], p[N], pr;
  // v[i] 表示 i 的最小质因子
  // p[N] 和 pr 用来存质数表
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (v[i] == 0) v[i] = i, p[++pr] = i;
    // 没被筛，是质数
    for (int j = 1; j <= pr && i*p[j] <= n; ++j) {
      v[i*p[j]] = p[j];
      if (i % p[j] == 0) break;
      // 当 i 是 p[j] 的倍数时 break
    }
  }
}

代码简短，便于记忆。。。
but，为什么复杂度是线性的呢？

• 在筛的过程中，上面的程序将\(i\times p[j]\)的最小质因子定为\(p[j]\)。
• 先不考虑其正确性，将\(i\)唯一分解，得到\(i=p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}（p_1\leq p_2 \leq \cdots \leq p_k）\)。
• 而此时一定有\(p[j]\leq p_1\)，因为当\(p[j]=p_1\)时就已经break了。
• 同样由于\(p[j]\leq p_1\)，\(i \times p[j]\)的最小质因子显然为\(p[j]\)。

然鹅还是没有证明复杂度是线性的。。。

• 考虑每个数\(x\)被筛到的原因。
• 若\(x\)为质数，则\(x\)被筛是理所当然的。
• 若\(x\)非质数，则\(x\)只会被其最小质因子筛到。

所以，每个数会且仅会被筛一次，故时间复杂度为\(O(n)\)。