数论专题——Dirichlet卷积及积性函数初步

Dirichlet卷积定义

若有两个函数 $f$与 $g$，则其 $Dirichlet$卷积为( $*$为卷积，为避免混淆，乘号用 $\times$表示)
$f(n) * g(n)= \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$

性质

简单性质

交换律： $f*g=g*f$

结合律： $(f*g)*h=f*(g*h)$

分配律： $f*(g+h)=f*g+f*h$

单位元

定义元函数： $\epsilon(n)=[n=1]$

其中 $[a]$指如果 $a$为真，其值为1，反之则为0。

所以 $f*\epsilon=\epsilon*f=f$

证明： $f(n)*\epsilon(n)=\sum_{d|n}f(d)\epsilon(\frac{n}{d})$
$\because \qquad 当\frac{n}{d} \neq 1时 \Longrightarrow\epsilon(\frac{n}{d})=0\Longrightarrow f(d)\epsilon(\frac{n}{d})=0$
$\therefore \qquad f(n)*\epsilon(n)=\sum_{d|n且d\neq n}f(d)\epsilon(\frac{n}{d})+f(n)\epsilon(1)=f(n)$

积性函数

对于一个函数 $f$，若对于所有互质的正整数 $a,b$，均有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则 $f$为一个积性函数。

数学语言：对于函数 $f$，若对于 $\forall a,b \in N^+,gcd(a,b)=1$，都有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则 $f$为一个积性函数。

好处：便于快速处理函数值

性质：对于两个积性函数 $f,g$， $f*g$也为积性函数

常见的积性函数

1.除数函数： $n$的约数的 $k$次幂之和， $\sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k$。

2.约数个数函数： $n$的约数个数， $d(n)=\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1$。

3.约数和函数： $n$的所有约数之和， $\sigma(n)=\sigma_1 (n)=\sum_{d|n}d$。

4.欧拉函数： $[1,n]$中与 $n$互质的数的个数， $\phi(n)=\varphi(n)=\sum_{n}^{i=1}[gcd(i,n)=1]$。

5.莫比乌斯函数：定义式：

对于一个数 $n$， $\{\sum_{d|n}\mu(d)\}=[n=1]$

当 $n$不等于 $1$时， $n$所有因子的莫比乌斯函数值的和为 $0$

求解该递归式： $\mu(n)=\left\{ \begin{aligned} 0\qquad n有平方因子 \\ (-1)^t \qquad otherwise\\ \end{aligned} \right.$
其中 $t$为 $n$质因子个数

6.元函数： $\epsilon(n)=[n=1]$。

7.幂函数： $n$的 $k$次方。 $Id_k(n)=n^k$。

8.恒等函数： $I(n)=Id_0(n)=1$。

9.单位函数： $Id(n)=Id_1(n)=n$。

一些恒等式

$I(n)*I(n)=\sum_{d|n}I(d)I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}1=d(n),即I*I=d$
$Id(n)*I(n)=\sum_{d|n}Id(d)I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}d=\sigma(n),即Id*I=\sigma$
$\mu(n)*I(n)=\sum_{d|n}\mu(d)I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n),即\mu*I=\epsilon$
由 $\varphi$的定义知，它还可以表示分母为 $n$的最简真分数个数。
所以列出分数 $\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},...,\frac{n}{n}$，再约分，以分母分别统计可得
$\varphi(n)*I(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)I(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\varphi(d)=n=Id(n),即\varphi*I=Id$
$\because \qquad \varphi*I=Id$
$\therefore \qquad \varphi*I*\mu=Id*\mu$
$\therefore \qquad \varphi*\epsilon=Id*\mu$
$\therefore \qquad \varphi=Id*\mu$