莫比乌斯反演（顺便讲积性函数、狄利克雷卷积）

莫比乌斯反演学习笔记

前置知识：

整除分块 </>
积性函数 <讲>
狄利克雷卷积 <讲>

参考资料

https://oi-wiki.org/math/mobius/

---

积性函数

定义：如果 \(\gcd(x,y)=1\) 并且 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则 \(f(n)\) 为积性函数。

性质：如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 均为积性函数，那么如下函数也是积性函数：

\[h(x)=f(x^p)\]

\[h(x)=f^p(x)\]

\[h(x)=f(x)g(x)\]

\[h(x)=\sum\limits_{d\mid x}f(d)g(\frac xd)\]

例子：

单位函数：\(\epsilon(x)=[x=1]\)。

常数函数：\(1(x)=1\)。

欧拉函数：\(\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^x[gcd(x,i)=1]\)。

莫比乌斯函数也是，下文会讲。

狄利克雷（Dirichlet）卷积

定义：

两个数论函数 \(f\) 和 \(g\) 的狄利克雷卷积 \((f*g)\) 为

\[(f*g)(x)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac xd)\]

性质：满足交换和结合律，\(\varepsilon\) 是该函数单位元，每个函数卷它都得本身。

例子：

\(d(x)=(1*1)(x)=\sum\limits_{d|n}1\)

\(\sigma(x)=(1*d)(x)=\sum\limits_{d|n}d\)

未完待续