【算法讲7：积性函数（下）】⌈ 加性函数 ⌋ 与 ⌈ 积性函数 ⌋ 与 ⌈ 狄利克雷卷积 ⌋ 详细介绍

前置

【算法讲4：乘性函数（上）】欧拉函数 | 因子和函数 | 因子个数函数
【算法讲5：乘性函数（中）】莫比乌斯函数 | 莫比乌斯反演 | 莫比乌斯反演应用

补充

• 前两期上和中主要是面向数论方向
  这一期下主要面向信息学竞赛(ACM & OI)，辅以数论工具
  主要参考：OI-WIKI 莫比乌斯反演，积性加性函数性质与常见积性加性函数
  涵盖内容较多较广，如果有错误恳请斧正。

$\lceil$积性函数$\rfloor$ (乘性函数)

四个最基本的定义

• 定义 1：$f(n)$ 为算数函数，如果 $\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{+}$，且 $m\perp n$，都有 $f(mn)=f(m)f(n)$，那么称$f(n)$为积性函数(信息学名词)或乘性函数(数学名词)。后统称积性函数。
• 定义 2：$f(n)$ 为算数函数，如果 $\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{+}$，都有 $f(mn)=f(m)f(n)$，那么称$f(n)$为完全积性函数。
• 定义 3：$f(n)$ 为算数函数，如果 $\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{+}$，且 $m\perp n$，都有 $f(mn)=f(m)+f(n)$，那么称$f(n)$为加性函数。
• 定义 4：$f(n)$ 为算数函数，如果 $\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{+}$，都有 $f(mn)=f(m)+f(n)$，那么称$f(n)$为完全加性函数。

关于积性函数的基本性质

性质一：f(1)

• 若 $f(x)$ 为积性函数，则 $f(1)=1$
  证明：$f(1)=f(1\times 1)=f(1)f(1)$，或者 $f(n)=f(n\times 1)=f(n)f(1)$ 易得。
• 若 $f(x)$ 为加性函数，则 $f(1)=0$
  证明：$f(1)=f(1\times 1)=f(1)+f(1)$ 或 $f(n)=f(n\times 1)=f(n)+f(1)$ 易得。

性质二：积性函数的各种传递

• 若 $f(x)、g(x)$都为积性函数，则以下 $h(x)$ 函数也为积性函数：
  $$\begin{array}{rl}& h(x)=f(x^p)\\ & h(x)=f^p(x)\\ & h(x)=f(x)g(x)\\ & h(x)=\sum _{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})\\ & h(x)=\sum _{d|x}f(d)\end{array}$$
  证明方法：只要 $\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{+}$，且 $m\perp n$，都有 $h(m)h(n)=h(mn)$ 即可，容易证得。
  注意，积性函数乘以积性函数还是积性函数(第2、3条)，积性函数的和函数还是积性函数(第5条)。

性质三：整数唯一分解定理的应用

• 详细内容：百度百科：唯一分解定理
• $n$ 为正整数，写成 $n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}=\underset{i=1}{\prod ^s}{p}_i^{a_i}$ ，后文简写成 $n=\prod p_i^{a_i}$
  其中 $p_1<p_2<\cdots <p_s$，为 $s$ 个素数； 指数$a_i\ge 1$
• 若 $f(x)$ 为积性函数，且 $n=\prod p_i^{a_i}$ 则 $f(n)=\prod f(p_i^{a_i})$
  若 $f(x)$ 为完全积性函数，且 $n=\prod p_i^{a_i}$ 则 $f(n)=\prod f(p_i{)}^{a_i}$
  证明略。

常见的积性函数和加性函数介绍

• 参考：百度百科：积性函数、积性加性函数性质与常见积性加性函数
  对于该函数为加性函数或完全积性函数等的证明，见上面参考。

完全加性函数

• 总的质因子个数函数：$\Omega (n)=\sum _{p\in Prime}\sum _{p^k|n}1$
  另一种表述方法：$n=\prod p_i^{a_i}$，则 $\Omega (n)=\sum a_i$
• 总的质因子和函数：$a_0(n)=\sum _{p\in Prime}\sum _{p^k|n}p$
  另一种表述方法：$n=\prod p_i^{a_i}$，则 $a_0(n)=\sum p_i{a}_i$

加性函数

• 互异的质因子个数函数：$\omega (n)=\sum _{p\in Prime}[p|n]$
  另一种表述方法：$n=\underset{i=1}{\prod ^s}{p}_i^{a_i}$，则 $\omega (n)=s$
• 互异的质因子和函数：$a_1(n)=\sum _{p\in Prime}[p|n]\times p$
  另一种表述方法：$n=\prod p_i^{a_i}$，则 $a_1(n)=\sum p_i$

完全积性函数

• 单位函数(元函数)：$\epsilon (n)=[n=1]$，有时记为 $e(n)$
• 幂函数： $i{d}_k(n)=n^k$
  恒等函数：$i{d}_1(n)=n$ ，简记为 $id(n)=n$ 或 $I(n)=n$
• 常数函数(不变函数)：$1(n)=1$
• 刘维尔函数：$\lambda (n)=\{\begin{array}{ll}1& 如果n=1\\ (-1{)}^{\Omega (n)}& 其他情况\end{array}$
  略证刘维尔函数为完全积性函数：因为$\Omega (n)$ 为完全加性函数，故 $\lambda (mn)=\lambda (m)\lambda (n)$
  百度百科：刘维尔函数

积性函数

• 除数函数：${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k$
  因子和函数：${\sigma }_1(n)=\sum _{d|n}d$，简记为 $\sigma (n)$
  因子个数函数：${\sigma }_0(n)=\sum _{d|n}1$，简记为 $\tau (n)$ 或 $d(n)$
• 欧拉函数：$\phi (n)=\underset{i=1}{\sum ^n}[\gcd (i,n)=1]$
• 莫比乌斯函数：$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& 如果n=1\\ 0& n存在大于1的平方因子\\ (-1{)}^{\omega (n)}& 其他情况\end{array}$
• $k$ 固定的最大公因数：$\gcd (n,k)$
• 伽马函数：$\gamma (n)=(-1{)}^{\omega (n)}$

其他数论函数

• 曼戈尔特(Mangoldt)函数：$\Lambda (n)=\{\begin{array}{ll}logp& 如果n=p^k，其中p是素数，k是正整数\\ 0& 其他情况\end{array}$
  百度百科：曼戈尔特函数
• 梅滕斯(Mertens)函数：$M(n)=\underset{i=1}{\sum ^n}\mu (i)$
• 不大于 $n$ 的质数个数函数：$\pi (n)=\underset{i=1}{\sum ^n}[i\in Prime]$

$\lceil$狄利克雷卷积$\rfloor$

定义

• 两个数论函数 $f、g$ 的狄利克雷($Dirichlet$) 卷积为：
  $$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$
  其中 $(f\ast g)(n)$ 简记为 $(f\ast g)$ 或 $f\ast g$

性质

狄利克雷卷积满足一下性质：

• 交换律： $f\ast g=g\ast f$
• 结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$
• 分配律：$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$
• 单位元 $\epsilon$：$f\ast \epsilon =\epsilon \ast f=f$

例子

• $\epsilon =\mu \ast 1$
  略证：$\mu \ast 1=\sum _{d|n}\mu (d)=\epsilon$
  详细证明见 算法讲5：莫比乌斯 | 定理 2
• $d=1\ast 1$
  略证：$1\ast 1=\sum _{d|n}1=d(n)$
• $\sigma =id\ast 1$
  略证：$id\ast 1=\sum _{d|n}id(d)=\sum _{d|n}d=\sigma (n)$
• $\phi =\mu \ast id$
  略证：$\mu \ast id=\sum _{d|n}\mu (d)id(\frac{n}{d})=\phi (n)$
  为什么？因为 $n=id(n)=F(n)=\sum _{d|n}\phi (d)$
  根据莫比乌斯反演得到 $\phi (n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\mu (d)id(\frac{n}{d})$

下一节再讲信息学的莫比乌斯反演相关内容吧。