今天做的一道题就是有关积性函数与狄利克雷卷积的,很懵逼。觉得有必要学一手了
一. 积性函数是什么呢?
对于函数f,对于任意的a,b互质,都有:
f(a * b) = f(a) * f(b)
这样的函数f就称为积性函数,若a,b不互质也满足上述条件的话,那么函数f又可称为完全积性函数
它又有什么性质呢?
1.若n = p1q1✖️p2q2✖️ …✖️pn^qn,那么对于积性函数f,有:
f(n) = f(p1^q1) * f(p2^q2) * ... * f(pn^qn)
2.若积性函数f满足f(p^n) = f^n§,那么f也是完全积性函数
二. 那么,狄利克雷卷积是什么呢?
对于任意函数f,g,令h = f * g,都有:
h(n) = ∑d|n f(d)⋅g(n / d) //d为能被n整除的数
此时这个h就可以称为f和g的狄利克雷卷积
它有什么性质呢?
1.狄利克雷卷积满足交换律,结合律,加法分配律:
f * g = g * f
f * g * h = f * (g * h)
f * (g + h) = f * g + f *h
2.积性函数卷个积性函数的狄利克雷卷积仍旧是积性函数
三. 常见的积性函数和狄利克雷卷积有哪些?
我们先说一下常见的积性函数:
1.id^k(n) = n^k:幂函数,属于完全积性函数
2.I(n) = 1: 恒等函数,属于完全积性函数,相当于id^0(n)
3.id(n) = n: 单位函数,属于完全积性函数,相当于id^1(n)
4.e(n) = [n = 1]:代表单位元函数,它卷上任意的函数都得原函数,即:
e * f = f
5.φ(n):欧拉函数,表示小于等于 n 且与 n 互质的数的个数
6.μ(n):莫比乌斯函数,在狄利克雷卷积中与恒等函数互为逆元:
μ * I = e
关于莫比乌斯函数公式:
μ(n) = 1; //当n为1时
μ(n) = (-1)^k //当n由k个不同质数相乘得到时
μ(n) = 0; //其余情况
7.σ(n):约数和函数,表示n的全部约数和
8.τ(n):约数个数函数,表示n的全部约数个数
9.σk(n)=∑d|n d^k :因数函数,表示n全部约数的k次方和
再来说一下常用的狄利克雷卷积:
- I ∗ μ = e (即莫比乌斯函数与恒等函数互为逆元)
- μ∗id = φ (即莫比乌斯函数卷上单位函数为欧拉函数)
- I ∗ id = σ(即恒等函数卷个单位函数为约数和函数)
- I ∗ I = τ (即恒等函数卷个恒等函数为约数个数函数)
- I * φ = id (即恒等函数卷个欧拉函数为单位函数)
可以由狄利克雷卷积证明很多结论,比如:
1.n = ∑d|n φ(d) ,也就是n等于全部 φ(d)的和(φ(d)为d的欧拉函数)
2.σ(n) = ∑d|n τ(d) ∗ φ(n / d),也就是欧拉函数卷个约数个数函数为约数和函数
3.二项式反演:
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