积性函数性质与常见积性函数

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积性函数的性质

前面我们已经提到过了，积性函数，即为满足条件 \(\forall a,b\in Z_+,gcd(a,b)=1\Leftrightarrow \boldsymbol f(a)\boldsymbol f(b)=\boldsymbol f(ab)\) 的函数 \(\boldsymbol f\)

特别地，对于 \(\forall a,b\in Z_+,\boldsymbol f(a)\boldsymbol f(b)=\boldsymbol f(ab)\) 的函数 \(\boldsymbol f\) 我们称为完全积性函数

当然，有积性函数就对应的一定有加性函数：对于 \(\forall a,b\in Z_+,gcd(a,b)=1\Leftrightarrow f(a)+f(b)=f(a+b)\)

对应的，如果不需要满足 \(gcd(a,b)=1\) 称为完全加性函数

很显然，对于常数 \(C(n)\) 和加性函数 \(\alpha(n)\) ，显然 \(C^\alpha(n)\) 函数为积性函数；若 \(\alpha(n)\) 为完全加性函数，则 \(C^\alpha(n)\) 函数为完全积性函数