积性函数前缀和（杜教筛）

积性函数前缀和，这东西似乎非常恐怖（特别是有公式恐惧症的人），也确实很恶心。
实际上，还是比较套路的，只要推公式时试图往套路上靠，推出来的概率就比较大。

看个例子来了解第一个套路

求莫比乌斯函数的前缀和

利用性质

$$\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]$$
可以得到
$$\mu(n)=[n=1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)$$
前缀和：
$$S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)=1-\sum_{i=1}^n\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\\=1-\sum_{\frac i d=2}^n\sum_{d=1}^{\left \lfloor {{\frac n {\frac i d}}}\right \rfloor}\mu(d)\\=1-\sum_{i=1}^n S\left(\left \lfloor{\frac n i}\right \rfloor\right)$$

利用分块优化可以，$\sum_{i=1}^n$降为$O(n^{\frac 1 2})$，算上递归计算S，总时间复杂度$O(n^{\frac 1 2}n^{\frac 1 4}....)=O(n^{\frac3 4})$($\frac 1 8$太小忽略）
这还是过不到，我们可以提前$O(n)$预处理一段S，使得递归次数减少。
经玄学计算，只要预处理前$n^{\frac 2 3}$个值，时间复杂度最低，为$O\left(n^{\frac 2 3}\right)$

代码：

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
const long long MAXN=5000000;

long long sumu[MAXN+10];
map<long long,long long> S;

void init_sumu()
{
    static long long mu[MAXN],prime[MAXN],pcnt=0;
    static bool npr[MAXN]={false};
    mu[1]=1;npr[1]=true;
    for(long long i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!npr[i])
        {
            prime[++pcnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(long long j=1;j<=pcnt&&1LL*prime[j]*i<MAXN;j++)
        {
            npr[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    sumu[0]=0;
    for(long long i=1;i<MAXN;i++)
        sumu[i]=sumu[i-1]+mu[i];
}

long long solve(long long n)
{
    if(n<MAXN)
        return sumu[n];
    if(S.count(n))
        return S[n];
    long long res=1,nxt=0;
    for(long long k=2;k<=n;)
    {
        nxt=n/(n/k);
        res-=(nxt-k+1)*solve(n/k);
        k=nxt+1;
    }
    S[n]=res;
    return res;
}

int main()
{
    init_sumu();
    long long a,b;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld\n",solve(b)-solve(a-1));
    return 0;
}

套路

试图把要求前缀和的函数$f$，使$\sum_{d|n}f(d)$为一个与d无关的值A，然后用$A-\sum_{d|n,d<n}f(d)$，即可得到$f(n)$，用这个公式求前缀和，既可以递归缩小规模，用杜教筛$O\left(n^{\frac 2 3}\right)$解决。