zcmu2012（积性函数---因子和）

2012: 因子和

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Description

现有一个函数f(n)，表示n的所有因子和。

例如f(3) = 4,f(6) = 12

现在有一个区间[l,r]

请你计算出:

$$\sum_{i = l} ^ r f(i)$$

Input

多组数据(<=10)

每组数据包含两个整数l,r(1 <= l <= r <= 1e12)

(r - l <= 1e6)

Output

输出一个整数

Sample Input

101 101

28 28

1 10

Sample Output

102

解析：设 $\sigma\left ( i \right )$ 为i的因子和。

我们先从简单的开始，我们求1到n的因子和。

以12为例
则 i    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
因子 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
        2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2
        4 3 4 5 3
6 8 10 6
12
则 ans = σ(1) + σ(2) + ---- + σ(12)
= 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*5 + 2*6 + 1*7 + 1*8 + 1*9 + 1*10 + 1*11 + 1*12
= Σ(1 -> n) (n/i) * i 注：这里的/ 是整除的意思
然后我们这样看
ans = 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*(5+6) + 1*(7+8+9+10+11+12)
则对于每一个 n/i 都有一个范围
n/i 范围[l, r] 当前n/i 在范围内对ans的贡献是

12[1,1] 12 * 1
6 [2,2] 6 * 2
4 [3,3] 4 * 3
3 [4,4] 3 * 4
2 [5,6] 2 * (5 + 6)
1[7,12] 1 * (7 + 8 + --- + 12) 对于 7+--+8 等差数列求和 n(a1+an)/2

可以发现每一个l等于上一个r+1 而r = n/(n/l) (这里可能不好想-^-^-也就是积性函数（可看积性函数的一些函数）,就是数论的分块，我是这么想的，或者你记住，n/i的值是有连续的区间的值相等的)
则代码。。。
(j-i+1)*(i+j)/2相当于n(a1+an)/2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
  
#define e exp(1)
#define pi acos(-1)
#define mod 1000000007
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
 
ull x(ull n)
{
    ull ans=0,j;
    for(ull i=1;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ans+=(j-i+1)*(i+j)/2*(n/i);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ull a,b;
    while(~scanf("%llu%llu",&a,&b))
    {
        printf("%llu\n",x(b)-x(a-1));
    }
    return 0;
}

补充题：求前i个的因子个数的总和；

思路也是相同的

题目链接 https://www.nowcoder.com/acm/contest/39/A

主要代码：

LL X(LL n)
{
    LL l, r;
    LL ans = 0;
    for( l = 1; l <= n; l = r+1)
    {
        r = n/(n/l);
        ans += n/l * (r - l + 1);
    }
    return ans;
}