莫比乌斯反演 学习笔记

0、前言

ljm没有进省队，走上了文化课的不归路。
ljm非常不甘心，考虑到tyz的数学整体水平不高，ljm决定认真学习数学，以便出毒瘤数学题来为难进队的神仙们。
那么先从莫比乌斯反演开始。

1、开始

莫比乌斯反演最基本的就是这样两个式子：
对于约数的莫比乌斯反演：
若：$F(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)$
那么满足$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}μ(d)F(\frac{n}{d})$
对于倍数的莫比乌斯反演：
若：$F(n)=\displaystyle\sum_{n|d}f(d)$
那么满足：$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}μ(\frac{d}{n})F(d)$
这里的$μ(x)$是莫比乌斯函数。

2、莫比乌斯函数

(1) 定义

莫比乌斯函数的定义如下：
当$i=1$时，$μ(i)=1$。
当$i=p_1*p_2*p_3*\dots *p_k$，其中$p_1,p_2,p_3,\dots ,p_k$为质数，$μ(i)=(-1)^k$。
其余情况$μ(i)=0$。

(2) 性质

• 性质一：莫比乌斯函数是积性函数，即满足：$μ(a*b)=μ(a)*μ(b),(a,b)=1$。
  应用：鉴于各种套路，我们知道积性函数一般是可以被线性筛出来的，所以莫比乌斯函数同样有着线性筛法：

void shai()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

• 性质二：$\displaystyle\sum_{d|n}μ(d)=[n=1]$。
  
  • 证明：当$n=1$时，$μ(1)=1$，得证。
  • 当$n≠1$时，设$n={p_1}^{k_1}*{p_2}^{k_2}*\dots*{p_m}^{k_m}$，$d={p_1}^{t_1}*{p_2}^{t_2}*\dots*{p_m}^{t_m}$。
    因为莫比乌斯函数的定义，如果任意$x_i>1$，那么$\mu(d)=0$，所以我们只用考虑$x_i=0$或$x_i=1$的情况。
    不妨假设有$d$中有$r$个$x_i=1$，那么可得：
    $\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{r=0}^{m}\begin{pmatrix} m \\ r\end{pmatrix}(-1)^r(n≠1)$
    后面的式子是不是很眼熟？感觉很像二项式定理。
    二项式定理长这样：$(x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}x^{n-k}y^k$
    我们令$x=1,y=-1$，将$n,k$换成$m,r$，原式变形为：
    $(1-1)^m=\displaystyle\sum_{r=0}^{m}\begin{pmatrix} m \\ r\end{pmatrix}(-1)^r=1$，得证。
• 性质三：并没有什么用，先占个坑，有空回来填。

3、莫比乌斯反演证明

• 以最基础的$f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}μ(d)F(\frac{n}{d})$为例证明吧。
  
  • 由$F(n)$的定义可得：$F(\frac{n}{d})=\displaystyle\sum_{d′|{\frac{n}{d}}}f(d′)$
  • 代回原式可得$\displaystyle\sum_{d|n}μ(d)F(\frac{n}{d})=\displaystyle\sum_{d|n}μ(d)\displaystyle\sum_{d′|{\frac{n}{d}}}f(d′)$
  • 如果令$\frac{n}{d}=kd′$，那么$kd=\frac{n}{d′}$，也就是$d|\frac{n}{d′}$。因为每一个$\mu(d)$都要与每一个$f(d′)$乘一次，即：$\displaystyle\sum_{d|n}μ(d)\displaystyle\sum_{d′|{\frac{n}{d}}}f(d′)=\displaystyle\sum_{d|{\frac{n}{d′}}}μ(d)\displaystyle\sum_{d′|n}f(d′)$
  • 由莫比乌斯函数的性质二可得，只有$d'=n$时，上式的和为$f(n)$，其余情况为0，得证。

4、有什么用？

刚刚翻来覆去说了半天好像也没说这个懵逼莫比乌斯反演有什么用$\dots$
莫比乌斯反演，一般用来解决$F(n)$能很快（一般是$O(1)$）求出，但题目要求你求$f(n)$，且求$f(n)$的复杂度极高（一般是$O(n^2)$），这时候我们就可以通过莫比乌斯反演来$O(n)$的求出来$f(n)$的值。
$\dots$
基本的莫比乌斯反演就这些东西了。但没几道题会用到这么简单的东西。所以高级应用和骚操作还是要去做难题来慢慢积累啊。

5、一些例题

占坑。