【学习笔记】莫比乌斯反演(其实只讲\(\mu\))
可能最常见的定义式是这样的:
\[ F(x)=\Sigma_{d|x}f(x) \leftrightarrow f(x)=\Sigma_{d|x}\mu(x)F(x) \\or \\ F(x)=\Sigma_{x|d}f(x) \leftrightarrow f(x)=\Sigma_{x|d}\mu(x)F(x) \]
但是这并不是我们\(OI\)的重点..之前一直学不会这个东西就是因为老研究这个去了(我才不会说是\(NOIP\)模拟赛有毒瘤出题人以这样的形式让我和莫比乌斯函数见面)
实际上我们喜欢的是这个性质
\[ \Sigma_{d|n}\mu(n)=[n=1] \]
假如一个式子里有乘积+约数或者什么什么+布尔值，那就套一下这个公式。
这个式子如何证明：
考虑枚举因数就相当于对于\(n=\prod p_i^{a_i}\)选不同的乘起来，你知道当\(d\)在一个\(p_i\)中选了超过一的指数，由于此时\(\exist x^2|n\)所以\(\mu(n)=0\)我们就可以不考虑它了。
所以情况只剩下选择不同的\(p_i\)了，等式就变成了我们选几个不同的素因子:\(\Sigma C_n^i (-1)^i\)，我们直接二项式定理可以得到等式\(=(-1+1)^n=0\)。
\(n=1\) 时的证明显然。
\(\text{talk is cheap , show me the 例题:}\)
P2568 GCD
一句话题意:求\((x,y)=\)质数的\((x,y)\)个数
数学：
先给个公式
\[ \Sigma_i^n \Sigma_j^n[(i,j)\in P] \\ \Sigma_{x\in P}\Sigma_i^n \Sigma_j^n[(i,j)=x] \\ \Sigma_{x\in P}\Sigma_i^{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor} \Sigma_j^{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor}[(i,j)=1] \\ \Sigma_{x\in P}\Sigma_i^{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor} \Sigma_j^{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor}\Sigma_{d|(i,j)}\mu(d) \\ \]
刚刚博主发现这道题用\(\phi\)做好多了...于是先跳过 咕咕咕
[P3327 SDOI2015]约数个数和
先给个式子
\(d(ij)=\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}[(x,y)=1]\)
继续
\[ \Sigma_i^n \Sigma_j^nd(ij) \\ \Sigma_i^n \Sigma_j^n\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}[(x,y)=1] \\ \Sigma_i^n \Sigma_j^n\Sigma_{x|i}\Sigma_{y|j}\Sigma_{d|(x,y)}\mu(d) \\ \text{考虑先枚举约数再考虑有多少个i j的贡献} \\ \Sigma \]
博主滚去宿舍了...