数论学习_莫比乌斯反演

背景：

之前不会用 $Markdown$，所以坑没有补。

定义：

以下除法默认向下去整。
对于一个形如 $F_n=\sum_{d|n}f_d$的式子，用莫比乌斯反演得到了一个结论： $f_n=\sum\limits_{d|n}μ(d)*F_{n/d}$。

证明可以考虑狄利克雷卷积（稍后补上）。

那么 $μ$的定义是什么呢？
当 $n=1$时， $μ(n)=1$。
当 $n>1$时，若 $n$能分为 $k$个互不相等的质因数乘积，则 $μ(n)=(-1)^k$；
否则， $μ(n)=0$。

同时 $μ$是积性函数，因此可以用欧拉筛预处理 $μ$。

用法：

可是怎么用呢。
我们发现 $μ$函数存在一个性质： $\sum\limits_{d|n}μ(d)=[n=1]$。
证明可以考虑狄利克雷卷积（稍后补上）。

好像还是没有什么用（大雾…）？
别着急。

例题：

求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]$。

对于这样的题怎么做呢？
显然暴力的时间复杂度是： $\Theta(n^2)$的。
好像很难…
细心的同学可以发现该式中的 $gcd(i,j)=1$与 $μ$性质 $[n=1]$有些类似，不妨将其套入，得：
$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{d|gcd(i,j)}μ(d)$

更换枚举项，得：
$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{d=1}^{n}μ(d)[d|gcd(i,j)]$

将 $\sum\limits_{d=1}^{n}μ(d)$前置，得：
$\sum\limits_{d=1}^{n}μ(d)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[d|gcd(i,j)]$

更换枚举项，得：
$\sum\limits_{d=1}^{n}μ(d)\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{n/d}[d|(gcd(i,j)*d)]$

化简，得：
$\sum\limits_{d=1}^{n}μ(d)\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{n/d}1$

最后，得：
$\sum\limits_{d=1}^{n}μ(d)*\Big\lfloor\dfrac{n}{d}\Big\rfloor*\Big\lfloor\dfrac{n}{d}\Big\rfloor$

可以考虑用整除分块来加速，时间复杂度： $\Theta(\sqrt{n})$。

代码：

以这道题 $P4450$ 双亲数 或P3455 [POI2007]ZAP-Queries的代码为例题目，但求的是 $gcd(i,j)=k$的方案，具体可以看下面题表第一题的证明。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
	int prime[1000010],mu[1000010],sum_mu[1000010];
	bool bz[1000010];
	int n,m,k;
void init(int ma)
{
	bz[0]=bz[1]=true;
	mu[1]=1;
	int t=0;
	for(int i=2;i<=ma;i++)
	{
		if(!bz[i]) prime[++t]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=t&&i*prime[j]<=ma;j++)
		{
			bz[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j]))
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum_mu[i]=sum_mu[i-1]+mu[i];
}
LL solve(int n,int m,int k)
{
	LL sum=0;
	n/=k,m/=k;
	for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
	{
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		sum+=((LL)n/l)*((LL)m/l)*((LL)sum_mu[r]-sum_mu[l-1]);
	}
	return sum;
}
int main()
{
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
	init(max(n,m));
	printf("%lld",solve(n,m,k));
}

总结

重点来了。
我们在化简式子时多考虑 $\sum,\prod$的性质，尝试化简。如果化简出形似 $gcd(i,j)=1$的式子，可以考虑带入 $μ$的性质，再化简即可。
一般都需要用整除分块的套路，同时，一些题目也需要预处理一些可以被证明的积性函数。

题表
luogu P2522 [HAOI2011]Problem b
luogu P2398 GCD SUM
luogu P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB
luogu P2257 YY的GCD
luogu P3327 [SDOI2015]约数个数和
luogu P3312 [SDOI2014]数表
luogu P3768 简单的数学题
luogu P4917 天守阁的地板
luogu P3704 [SDOI2017]数字表格