莫比乌斯反演学习(hdu 1695

公式：1

（d|n表示n是d的倍数）

莫比乌斯函数：

例题：HDU1695

题目大意是这样的，给你 a , b , c , d , k 五个值（题目说明了你可以认为 a=c=1） x 属于 [1,b] ，y属于[1,d] 让你求有多少对这样的（x,y）满足gcd（x,y）==k。给你的时间是 3000 MS。 0 < a <= b <= 100,000, 0 < c <= d <= 100,000, 0 <= k <= 100,000

思路：因为gcd(x,y)=k，所以gcd(x/k,y/k)=1,即x/k,y/k互质，也就是在x属于【1，b/k】，y属于【1，d/k】上找(x,y)对。

设f(d)为有多少对（x,y）使gcd(x,y)=d。F（d）为有多对(x,y)使gcd(x,y)=d的倍数，显然，F（d）更好算，因为F（d）=((b/k)/d)*((d/k)/d)，利用莫比乌斯反演公式2，f(n)=∑(n|d)μ(d/n)F(d)，计算f(1)且d=1,2……min(b/k,d/k)即可。

当然，我们求得的答案里面是有重复的，也就是gcd(x,y),gcd(y,x)，假设b/k < d/k，设我们求出 [1,b/k] 与 [1,d/k] 这两个区间的答案为 sum1，因为 [1,b/k] 与 [b/k+1,d/k] 这两个区间内是没有相同的数的，所以这段的答案是没有重复的，而[1,b/k] 与 [1,b/k]这段是有重复的，设这段求出的值为sum2，那么重复的次数就为sum2 / 2，所以最终的答案就是sum1 - sum2 / 2;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define fo freopen("in.txt","r",stdin)
#define fc fclose(stdin)
#define fu0(i,n) for(i=0;i<n;i++)
#define fu1(i,n) for(i=1;i<=n;i++)
#define fd0(i,n) for(i=n-1;i>=0;i--)
#define fd1(i,n) for(i=n;i>0;i--)
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sd(n) scanf("%d",&n)
#define sdd(n,m) scanf("%d %d",&n,&m)
#define ss(s) scanf("%s",s)
#define sddd(n,m,k) scanf("%d %d %d",&n,&m,&k)
#define pans() printf("%d\n",ans)
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define sc(c) scanf("%c",&c)
#define we(a) while(scanf("%d",&a)!=EOF)
const int MAXN = 1000000;
bool check[MAXN+10];
ll prime[MAXN+10];
ll mu[MAXN+10];
void Moblus()
{
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    ll tot = 0;
    for(ll i = 2; i <= MAXN; i++)
    {
        if( !check[i] )
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(ll j = 0; j < tot; j++)
        {
            if(i * prime[j] > MAXN) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0)
            {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
            {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

const double eps=1e-8;

int main()
{
    Moblus();
    ll t,a,b,c,d,k,cas=0;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a>>b>>c>>d>>k;
        ll ans,ans1=0,ans2=0;
        if(k==0)
        {
            cout<<"Case "<<++cas<<": "<<0<<endl;
            continue;
        }
        b/=k,d/=k;
        for(int i=1;i<=min(b,d);i++)
        {
            ans1+=(mu[i]*(b/i)*(d/i));
        }
        for(int i=1;i<=min(b,d);i++)
        {
            ans2+=(mu[i]*(min(b,d)/i)*(min(b,d)/i));
        }
        ans=ans1-ans2/2;
        cout<<"Case "<<++cas<<": "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

莫比乌斯反演学习(hdu 1695

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