莫比乌斯反演学习日记

莫比乌斯函数
莫比乌斯反演
【CJOJ2512】gcd之和 -反演
P2257 YY的GCD -反演
小清新数论 -杜教筛

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莫比乌斯函数

\(\sum_{d|n} \mu(d) = [n = 1]\)

\(\sum_{d|n}\phi(d) = n\)

\(\phi(n) = \sum_{d|n} \mu(d)\frac{n}{d}\) \((容斥过程)\)

\(\sum_{d|gcd(i,j)} \mu(d) = [gcd(i,j) = 1]\;-C\)

莫比乌斯反演

\(F(n)=\sum_{d|n}f(d) => f(n)=\sum_{d|n}u(d)F(⌊\frac{n}{d}⌋)\;-B\)

\(F(n)=\sum_{n|d}f(d) => f(n)=\sum_{n|d}u(\frac{d}{n})F(d)\;-A\)

【CJOJ2512】gcd之和 -反演

\(ans = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)\;\;\;n\leq m\leq1e7\)

\(ans = \sum_{d=1}^{n}d \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]=\sum_{d=1}^{n} d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[gcd(i,j)=1]\)

法1：

\(f(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]\)并且\(F(n)=\sum_{n|d}f(d)\)

\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d|gcd(i,j)]=⌊\frac{n}{d}⌋\times ⌊ \frac{m}{d}⌋\)

\(f(x)=\sum_{x|d}^{min(n,m)}u(\frac{d}{x})F(d)\)

\(f(1)=\sum_{d=1}^{min(n,m)}u(d)F(d)=\sum_{d=1}^{min(n,m)}u(d)⌊\frac{n}{d}⌋\times ⌊ \frac{m}{d}⌋\)

\(ans = \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}u(i)\frac{n}{d\times i}\frac{m}{d\times i}\)

yyb jk_chen

法2：(无敌易理解)

\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|gcd(i,j)} u(d)\)

\(\sum_{d=1}^{n}u(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[d|gcd(i,j)]=\sum_{d=1}^{n}u(d)⌊\frac{n}{d}⌋⌊\frac{m}{d}⌋\)

\(ans = \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}u(i)\frac{n}{d\times i}\frac{m}{d\times i}\)

这是一个神奇的Blog
AC_CODE：

P2257 YY的GCD -反演

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\(ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=prime]\;\;n\leq m\leq 1e7\)

\(ans=\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)=1]\)

\(ans=\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{k|gcd}\mu(k)\)

\(ans=\sum_{d=1}^{n}\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}\mu(k)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd}\)

这样写会超时，因为多组数据，还得优化，就是交换求和顺序，令\(T=kd：\)

\(ans=\sum_{T=1}^{n}\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{d|T}\mu(\frac{T}{d})\)

预处理：\(\sum_{d|T}\mu(\frac{T}{d})\) 这个式子：枚举每个素数，给它的\(x\)倍数加上\(\mu(x)\)，然后前缀和。

AC_CODE：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MXN = 1e7+ 7;
const int mod = 998244353;

LL n, m;
int noprime[MXN], pp[MXN], pcnt;
int phi[MXN], mu[MXN];
LL pre_mu[MXN];
void init_prime() {
    noprime[0] = noprime[1] = 1;
    mu[1] = 1; phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MXN; ++i) {
        if(!noprime[i]) pp[pcnt++] = i, phi[i] = i-1, mu[i] = -1;
        for(int j = 0; j < pcnt && pp[j] * i < MXN; ++j) {
            noprime[pp[j]*i] = 1;
            //phi[pp[j]*i] = (pp[j]-1)*phi[i];
            mu[pp[j]*i] = -mu[i];
            if(i % pp[j] == 0) {
                //phi[pp[j]*i] = pp[j]*phi[i];
                mu[pp[j]*i] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}
void init_ans() {
    for(int i = 0; i < pcnt; ++i) {
        for(int j = 1; j*pp[i] < MXN; ++j) {
            pre_mu[j*pp[i]] += mu[j];
        }
    }
    for(int i = 2; i < MXN; ++i) pre_mu[i] += pre_mu[i-1];
}
int main() {
    init_prime();
    init_ans();
    int tim; scanf("%d", &tim);
    while(tim --) {
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        if(n > m) swap(n, m);
        LL ans = 0, tmp;
        for(LL L = 1, R; L <= n; L = R + 1) {
            R = min(n/(n/L),m/(m/L));
            tmp = pre_mu[R]-pre_mu[L-1];
            ans = (ans + tmp*(n/L)*(m/L));
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

小清新数论 -杜教筛

\(ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mu(gcd(i,j))\;\;n\leq1e11\)

\(ans = \sum_{d=1}^{n}\mu(d) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=d]=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)=1]\)

\(F(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1],\;P(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)=1]\)

\(F(n)=P(n)\times2 -1\)

\(ans = \sum_{d=1}^{n}\mu(d)\times(P(\frac{n}{d})\times 2-1)\)