莫比乌斯反演专题学习笔记
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为什么要学莫比乌斯反演?
解决一类与狄利克雷卷积、整除、积性函数有关的问题,通过莫比乌斯反演,往往可以将复杂度优化到可接受的范围内
积性函数
对于任意互质整数\(a,b\)有\(f(ab)=f(a)f(b)\)的函数称为积性函数
对于任意整数\(a,b\)有\(f(ab)=f(a)f(b)\)的函数称为完全积性函数
常见,重要的积性函数有:
欧拉函数\(\phi(n)\)
莫比乌斯函数\(\mu(n)\)
狄利克雷卷积单位元\(\varepsilon=[n=1]\)
不变函数\({\bf{1}}(n)=1\)
狄利克雷卷积
函数\(f,g\)的狄利克雷卷积\((f*g)\)定义如下
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})g(d)\]
狄利克雷卷积的单位元为\(\varepsilon=[n=1]\)(把它代入到狄利克雷卷积中,可以发现\(f*\varepsilon=f\))
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数定义如下:
\[\mu(i)=\begin{cases}1,& \text{if i = 1}\\(-1)^k,& \text{if i=}p_1p_2p_3\dots p_k(p\in prime)\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\]
下面证明莫比乌斯函数的狄利克雷卷积逆是不变函数,即
\[\mu*{\bf{1}}=\varepsilon\]
以下过程引自【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】莫比乌斯反演
证明:设\(n\)的不同质因子的个数为\(k\),则有
\[\mu*{\bf{1}}=\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{i=0}^k(-1)^i\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\]
由二项式定理,有
\[(x+y)^k=\sum_{i=0}^kx^iy^{k-i}\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\]
令\(x=-1,y=1\)代入得
\[0^k=\sum_{i=0}^k(-1)^i\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}\]
即
\[\mu*{\bf{1}}=\varepsilon\]
由此,我们得到莫比乌斯函数的一个性质\(\sum_{d|m}\mu(d)=[m=1]\)
由于莫比乌斯函数具有积性,我们可以用线性筛来求出莫比乌斯函数
void GetPrime()
{
nop[1]=1,mu[1]=1;
for(register int i=2;i<=N;++i)
{
if(!nop[i])pri[++pcnt]=i,mu[i]=-1;
for(register int j=1;j<=pcnt && i*pri[j]<=N;++j)
{
nop[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)break;
else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演
\[g(n)=\sum_{d|n}f(d)\rightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})\]
证明:
\[g=f*{\bf{1}},\mu*g=f*{\bf{1}}*\mu=f\]
\[g(n)=\sum_{n|d}f(d)\rightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\]
证明略
参考资料
【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】莫比乌斯反演https://www.bilibili.com/video/av43470417