所谓学习，即为做题。
P3455 [POI2007]ZAP-Queries
求：
\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)=d] \]
\[\sum_{i=1}^{x=\lfloor \frac{a}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{y=\lfloor \frac{b}{d} \rfloor} [\gcd(i,j)=1] \]
\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y} \sum_{k|\gcd(i,j)}^x \mu(k) \]
\[\sum_{k=1}^x \mu(k)\sum_{i=1}^{x}[k|i]\sum_{j=1}^{y}[k|j] \]
\[\sum_{k=1}^x \mu(k)\lfloor\dfrac{x}{k}\rfloor\lfloor\dfrac{y}{k}\rfloor \]
整除分块即可。
P2522 [HAOI2011]Problem b
求：
\[\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[\gcd(x,y)=k] \]
用 P3455 的式子容斥即可。
OJ6388 gcd求和
求：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \gcd(i,j) \]
设 \(n<m\)。
\[\sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=d] \]
\[\sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[\gcd(i,j)=1] \]
\[\sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}\sum_{D|\gcd(i,j)} \mu(D) \]
\[\sum_{d=1}^n\sum_{D=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor} d \lfloor \frac{n}{dD} \rfloor \lfloor \frac{m}{dD} \rfloor \]
直接枚举 \(T=dD\)。
\[\sum_{T=1}^n \varphi(T) \lfloor \dfrac{n}{T} \rfloor \lfloor\dfrac{m}{T} \rfloor \]
整除分块即可。
P1447 [NOI2010]能量采集
求：
\[-n\times m+2\times \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j) \]
看 OJ6388。
P4450 双亲数
求：
\[\sum_{i=1}^A\sum_{j=i}^B [\gcd(a,b)=d] \]
假设 \(A<B\)。
\[\sum_{i=1}^{\frac{A}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{B}{d}}[\gcd(a,b)=1] \]
\[\sum_{i=1}^{\frac{A}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{B}{d}}\sum_{d|i,d|j}\mu(d) \]
\[\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{A}{d}\rfloor} \mu(d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{A}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{B}{d}\rfloor}1 \]
\[\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{A}{d}\rfloor} \mu(d) \lfloor \dfrac{A}{d} \rfloor \lfloor \dfrac{B}{d}\rfloor \]
整除分块即可。
P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB
求：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \operatorname{lcm}(i,j) \bmod 20101009 \]
假设 \(n<m\)。
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \dfrac{ij}{\gcd(i,j)} \]
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d|i,d|j} [\gcd(\dfrac{i}{d},\dfrac{j}{d})=1]\dfrac{i\times j}{d} \]
\[\sum_{d=1}^n d \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\times ij \]
\[\sum_{d=1}^n d \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} ij \times \sum_{D|i,D|j}\mu(D)D \]
\[\sum_{d=1}^n d \sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu(D) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}ij[x|\gcd(i,j)] \]
\[\sum_{d=1}^n d \sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu(D) \sum_{kD=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\sum_{lD=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}D^2kl \]
\[\sum_{d=1}^n d \sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu(D)D^2 \lfloor \dfrac{n}{D}\rfloor\lfloor \dfrac{m}{D}\rfloor \]
整除分块再套一个整除分块即可。
优化？对不起， 不会。
P4449 于神之怒加强版
求：
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \gcd (i,j)^k \]
假设 \(n<m\)。
\[\sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m d^k \times [\gcd(i,j)=d] \]
\[\sum_{d=1}^n \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor} d^k\times [\gcd(i,j)=1] \]
\[\sum_{d=1}^n d^k\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{D|i,D|j}\mu(D) \]
\[\sum_{d=1}^n d^k\sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor} \mu(D)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dD}\rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{dD}\rfloor}1 \]
\[\sum_{d=1}^n d^k\sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu(D)\lfloor \frac{n}{dD}\rfloor \lfloor \frac{m}{dD} \rfloor \]
令 \(dD=T\)。
\[\sum_{d=1}^n d^k \sum_{D=1}^{\frac{n}{d}}\mu(D)\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \]
\[\sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d}) \]
设 \(f(T)=\sum_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d})\)，易证 \(f(T)\) 为积性函数，线性筛处理其前缀和即可。
P4917 天守阁的地板
求：
\[∏_{i=1}^N∏_{j=1}^N \dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)} \]
多组询问。
\[\prod_{i=1}^N\prod_{j-1}^N \dfrac{ij}{\gcd(i,j)^2} \]
\[\prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^N ij \times \dfrac{1}{\gcd(i,j)^2} \]
\[\prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^{N} ij \times \prod_{i=1}^N\prod_{j=1}^{N} \dfrac{1}{\gcd(i,j)^2} \]
左边一式显然等于 \((n!)^{2n}\)。
考虑计算右边一式：
\[(\prod_{d=1}^N d^{\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N[\gcd(i,j)=d]})^{-2} \]
可见指数是仪仗队，原式化为：
\[(n!)^{2n} \times (\prod_{d=1}^Nd^{2\times \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor} \varphi(i)-1})^{-2} \]
\(\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\varphi(i)\) 和 \(n!\) 可以在线性筛 \(O(n)\) 中求得。因为 \(\lfloor \dfrac{n}{d}\rfloor \leq 2\sqrt n\)，所以我们可以在这里进行优化，时间复杂度 \(O(T \sqrt n \log n)\)。
P5221 Product
见 P4917。