前言
这是笔者口胡的一篇学习笔记，而且笔者很菜，所以有部分结论没有证明。
前置芝士
积性函数
即为当 \(gcd(i,j)=1\)，有 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，的函数 \(f(x)\)，即为积性函数。
常见积性函数
- 莫比乌斯函数：\(\mu(x)= \left\{\begin{matrix} &1&,n=1 \\ &(-1)^k&, x=p_1 p_2 p_3 ... p_k,\forall p_i!=p_j,p_i\in prime\\ &0&,others \end{matrix}\right.\)，第二类简单来说就是若 \(x\)分解质因数后每个分解出的素数的指数都\(\leq1\)
- 欧拉函数：\(\phi(x)=\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]\)
- \(ID\)函数：\(ID(x)=x\)
- 单位函数：\(\varepsilon (x)=[x=1]\)
- 常数函数：\(1(x)=1\)
大部分积性函数都可以用线性筛求。
数论分块
即求 \(\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor\)，后面还可以带一些积性函数。这里就相当于乘上一个单位函数。暴力要 \(O(n)\)，数论分块只需 \(\sqrt n\)。
\(Code:\)
inline void solve(int n){
register int ans=0;
for(register int l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ans+=(r-l+1)*(n/l);
}
printf("%d\n",ans);
}
狄利克雷卷积
也叫 \(Dirichlet\) 卷积
两个函数 \(a\)，\(b\) 的狄利克雷卷积 \(f\) 为
\[f(n)=\sum_{d|n}a(d) b(\frac{n}{d}) \]
其中
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\[f=a*b \]
性质
- 交换律：\(f*g=g*f\)
- 结合律：\(f*(g*a)=(f*g)*a\)
- 任意数论函数与单位函数的卷积为其本身：\(f*\varepsilon=f\)