「算法笔记」莫比乌斯反演

简介

莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 $f(n)$ ，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 $g(n)$ ，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 $f(n)$ 的值。
开始学习莫比乌斯反演前，我们需要一些前置知识：积性函数、Dirichlet 卷积、莫比乌斯函数。

积性函数

定义

若 $\gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$ ，则 $f(n)$ 为积性函数。

性质

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

\begin{aligned} h (x) & = f (x^{p}) \\ h (x) & = f^{p} (x) \\ h (x) & = f (x) g (x) \\ h (x) & = \sum_{d | x} f (d) g (\frac{x}{d}) \end{aligned}

$\begin{align*} h(x)&=f(x^p)\\ h(x)&=f^p(x)\\ h(x)&=f(x)g(x)\\ h(x)&=\sum_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d}) \end{align*}$

例子

\begin{matrix} 约 数 个 数 函 数 & d (n) = \sum_{d | n} 1 \\ 约数和函数 & σ (n) = \sum_{d | n} d \\ 约数 k 次幂函数 & σ_{k} (n) = \sum_{d | n} d^{k} \\ 欧拉函数 & φ (n) = \sum_{i = 1}^{n} [gcd (i, n) = 1] \\ 莫比乌斯函数 & μ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ (- 1)^{k} & c_{1, 2, \dots, k} = 1 (n = \prod_{i = 1}^{k} {p_{i}}^{c_{i}}) \\ 0 & c_{i} > 1 \end{cases} \end{matrix}

$\qquad\begin{array} \text{约数个数函数}&d(n)=\displaystyle\sum_{d|n}1\\ \text{约数和函数}&\displaystyle\sigma(n)=\sum_{d|n}d\\ \text{约数 $k$ 次幂函数}&\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\\ \text{欧拉函数}&\displaystyle\varphi(n)=\sum_{i=1}^n [\gcd(i,n)=1]\\ \text{莫比乌斯函数}&\displaystyle\mu(n)= \begin{cases} 1 & n=1\\ (-1)^k &c_{1,2,\cdots,k}=1\quad(n=\displaystyle\prod_{i=1}^k {p_i}^{c_i})\\ 0 & c_i>1 \end{cases} \end{array}$

Dirichlet 卷积

定义

定义两个数论函数 $f,g$ 的 $\text{Dirichlet}$ 卷积为

(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (d) g (\frac{n}{d})

$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$

性质

$\text{Dirichlet}$ 卷积满足交换律和结合律。
其中 $\epsilon$ 为 $\text{Dirichlet}$ 卷积的单位元（任何函数卷 $\epsilon$ 都为其本身）

例子

\begin{aligned} ϵ = μ * 1 & \Leftrightarrow ϵ (n) = \sum_{d | n} μ (d) \\ d = 1 * 1 & \Leftrightarrow d (n) = \sum_{d | n} 1 \\ σ = d * 1 & \Leftrightarrow ϵ (n) = \sum_{d | n} d \\ φ = μ * ID & \Leftrightarrow φ (n) = \sum_{d | n} μ (d) \cdot \frac{n}{d} \end{aligned}

$\begin{align*} \epsilon=\mu*1&\Leftrightarrow\epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\\ d=1*1&\Leftrightarrow d(n)=\sum_{d|n}1\\ \sigma=d*1&\Leftrightarrow\epsilon(n)=\sum_{d|n}d\\ \varphi=\mu*\text{ID}&\Leftrightarrow\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\cdot\frac{n}{d} \end{align*}$

莫比乌斯函数

定义

$\mu$ 为莫比乌斯函数

性质

莫比乌斯函数不但是积性函数，还有如下性质：

μ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n 含有平方因子 \\ (- 1)^{k} & k 为 n 的本质不同质因子个数 \end{cases}

$\mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k&k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\\ \end{cases}$

证明

ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}

$\epsilon(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1\\ \end{cases}$

其中 $\displaystyle\epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)$ 即 $\epsilon=\mu*1$
设 $\displaystyle n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i},n'=\prod_{i=1}^k p_i$
那么 $\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k C_k^i\cdot(-1)^k$
根据二项式定理，易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$ ，这也同时证明了 $\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$

线性筛

由于 $\mu$ 函数为积性函数，因此可以线性筛莫比乌斯函数（线性筛基本可以求所有的积性函数，尽管方法不尽相同）。

代码：

void getMu() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!flg[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j) {
            flg[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

拓展

证明

φ * 1 = ID （ID 函数即 f (x) = x ）

$\varphi*1=\text{ID}\text{（ID 函数即 } f(x)=x\text{）}$

将 $n$ 分解质因数： $\displaystyle n=\prod_{i=1}^k {p_i}^{c_i}$
首先，因为 $\varphi$ 是积性函数，故只要证明当 $n'=p^c$ 时 $\displaystyle\varphi*1=\sum_{d|n'}\varphi(\frac{n'}{d})=\text{ID}$ 成立即可。
因为 $p$ 是质数，于是 $d=p^0,p^1,p^2,\cdots,p^c$
易知如下过程：

\begin{aligned} φ * 1 & = \sum_{d | n} φ (\frac{n}{d}) \\ = \sum_{i = 0}^{c} φ (p^{i}) \\ = 1 + p^{0} \cdot (p - 1) + p^{1} \cdot (p - 1) + \dots + p^{c - 1} \cdot (p - 1) \\ = p^{c} \\ = ID \end{aligned}

$\begin{align*} \varphi*1&=\sum_{d|n}\varphi(\frac{n}{d})\\ &=\sum_{i=0}^c\varphi(p^i)\\ &=1+p^0\cdot(p-1)+p^1\cdot(p-1)+\cdots+p^{c-1}\cdot(p-1)\\ &=p^c\\ &=\text{ID}\\ \end{align*}$

莫比乌斯反演

公式

设 $f(n),g(n)$ 为两个数论函数。
如果有

f (n) = \sum_{d | n} g (d)

$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$

那么有

g (n) = \sum_{d | n} μ (d) f (\frac{n}{d})

$g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$

证明

暴力计算：

\sum_{d | n} μ (d) f (\frac{n}{d}) = \sum_{d | n} μ (d) \sum_{k | \frac{n}{d}} g (k) = \sum_{k | n} g (k) \sum_{d | \frac{n}{k}} μ (d) = g (n)

$\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}g(k)=\sum_{k|n}g(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}\mu(d)=g(n)$

用 $\displaystyle\sum_{d|n}g(d)$ 来替换 $f(\dfrac{n}{d})$ ，再变换求和顺序。最后一步转为的依据： $\displaystyle\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$ ，因此在 $\dfrac{n}{k}=1$ 时第二个和式的值才为 $1$ 。此时 $n=k$ ，故原式等价于 $\displaystyle\sum_{k|n}[n=k]\cdot g(k)=g(n)$

运用卷积：

原问题为：已知 $f=g*1$ ，证明 $g=f*\mu$
易知如下转化： $f*\mu=g*1*\mu\Rightarrow f*\mu=g$ （其中 $1*\mu=\epsilon$ ）

问题形式

$\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]$ ：「HAOI 2011」Problem b
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\text{lcm}(i,n)$ ：「SPOJ 5971」LCMSUM
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\text{lcm}(i,j)$ ：「BZOJ 2154」Crash的数字表格

本文部分内容引用于 algocode 算法博客，特别鸣谢！