导数、微分、积分的几何理解

一、导数

导数的定义
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某领域内有定义，若极限 $\lim_{x \rightarrow x _0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\quad\quad(1)$ 存在，则称函数 $f$ 在点 $x_0$ 处可导，并称该极限为函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的导数，记做 $f'(x_0)$ 。
令 $x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ,则 $(1)$ 式可改写为 $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0) \quad\quad\quad(2)$ 所以，导数式函数增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 之比 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称商差），而导数 $f'(x_0)$ 则为 $f$ 在 $x_0$ 处关于 $x$ 的变化率。
导数的几何意义
在导数的定义中已经说过,导数 $f'(x_0)$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处关于 $x$ 的变化率；所以导数的几何意义就是切线(斜率)。
对应下图，直线 $PQ'$ 就是函数 $f$ 在 $x_0$ 处的导数(切线)，即 $f'(x_0)=PQ'$

微分的定义
设函数 $y=f(x)$ 定义在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内。当给 $x_0$ 一个增量 $\Delta x,x_0+\Delta x \in U(x_0)$ 时,相应的得到函数的增量为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 如果存在常数 $A$ ,使得 $\Delta y$ 能表示成 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\quad\quad\quad(3)$ 则称函数 $f$ 在点 $x_0$ 可微，并称（3）式中的第一项 $A\Delta x$ 为 $f$ 在点 $x_0$ 处的微分，记做 $\left. dy \right| _{x=x_0}=A\Delta x\quad或\quad\left. df(x) \right| _{x=x_0}=A\Delta x$ 由定义可见函数的微分与增量仅差一个关于 $\Delta x$ 的高阶无穷小量，由于 $dy$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，所以当 $A\neq 0$ 时，也说微分 $dy$ 是增量 $\Delta y$ 的线性主部。
微分的几何意义
微分的几何意义如下图所示，当自变量由 $x_0$ 增加到 $x_0+\Delta x$ 时，函数增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=RQ$ ；
而微分则是在点 $P$ 处的切线上与 $\Delta x$ 所对应的增量 $dy=f'(x_0)\Delta x=RQ'$
其中， $QQ'$ 对应的是 $o(\Delta x)$ （高阶无穷小量），即 $\lim_{ x \rightarrow x_0} \frac{Q'Q}{RQ'}=0$

积分的定义
设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的一个函数，对于 $[a,b]$ 的一个分割 $T=\{\Delta {_1},\Delta {_2},\dots,\Delta {_n}\}$ ，任取点 $\xi_i \in \Delta {_i},i=1,2,\dots,n$ ,并做和式 $J=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$
称此和式为函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个积分和，也称黎曼和。
定积分：
$J=\sum_{i=a}^{b}f(\xi_i)\Delta x_i=\int ^b_a f(x) {\rm d}x$
其中， $f$ 称为被积函数， $x$ 称为积分变量， $[a,b]$ 称为积分区间。
积分的几何意义
由上文积分的定义可知，积分的几何意义就是求面积。
对应下图， $J=\int ^{x_0}_{x_0+\Delta x} f(x) {\rm d}x$ 的几何意义就是曲线 $PQ$ 和 $x$ 轴围成的面积。