2009-7-30 21:04
一直有个疑问，复变函数中的解析函数是否是二元函数的推广，如果是，那柯西-黎曼方程又如何解释？导数和微分再熟悉不过，吃过饭翻翻泛函书，只有微分理论并无导数，不爽，细想。。。
什么是微分，局部线性化后的线性函数，在某点微分存在即函数在某点可局部线性化。
什么是导数，应变量和自变量的比值极小化后的极限，在某点导数存在即在某点此极限存在。
微分和导数其实都是局部线性化的产物，什么是局部线性化，就是函数在某一点附近的无穷小范围内可以用线性函数来代替，线性化的目的是可以利用线性函数的性质，这也是高数中那一堆各种微积分公式的本质。
如何线性化，F(x)=F(x0)+T(x-x0), T是某个线性算子（这里的x,x0可以理解为线性空间中的一个点，并不一定是实数），这个线性算子是什么，是问题的关键。
对于一元函数y(x)，线性算子T很明显就是数乘， y=kx
对于二元函数z(x,y)，线性算子定义为 z=ax+by
对于复变函数z(x,y), z=u+iv，我觉得线性算子至少有两种定义方法，
1，将复变函数看成是两个独立的二元函数（实部函数和虚部函数），则利用二元函数的线性算子定义方法，定义如下 u=ax+by, v=cx+dy
2，利用复数乘法，引入数乘，z=(a+ib)(x+iy), 则u=ax-by, v=bx+ay, 则得到了柯西-黎曼方程，这就是复变函数中对微分的定义
可以看出第二种定义的要求明显强于第一种定义，也就说复变函数中的解析函数不仅是二元函数的简单推广，还要求两个二元函数的偏导数之间柯西-黎曼方程，这样定义的好处是可以引入导数。
另外其实线性变换都可以用矩阵来表示，第一种的矩阵其实是这样[a,b;c,d],而第二种对应的矩阵为[a -b;b a]
复变函数可以看出是两个二元函数，其可以推广到任何函数，定义域和值域可以是很多维的，而且对微分的定义都有类似复变函数的两种定义和性质
可以看出不管什么类型的函数，微分是可以定义出来的，因为其只要定义线性算子，而导数呢，自变量和应变量之比如何定义，这就要求其线性算子满足数乘关系，因此，一元函数可以有导数，复变函数的微分按照第二种定义也有导数，可有的导数却无法定义，多元函数只有全微分，却没有全导数，这也就是泛函分析中没有提到导数的原因，其线性算子未必是数乘
问题解决