导数与微分

1. 导数
2. 求导
3. 微分

1. 导数

1.1. \(\color{#00FFFF}{问题引入：}\)

\(1^。\)切线

切线：设曲线\(y=f(x)\)在曲线上点\(P_0(x_0, y_0)\)处作与曲线相交的割线\(P_0Q\).从而当\(Q\)沿曲线\(y=f(x)\)趋于\(P_0\)点时，割线\(P_0Q\)的极限位置的\(P_0T\)存在且唯一，称\(P_0T\)是曲线\(y=f(x)\)在\(P_0\)处的切线。
设曲线\(y=f(x)\)在曲线上\(P_0(x_0, y_0)\)处存在切线\(P_0T\)且\(P_0T\nparallel y\)轴，求\(P_0T\)的斜率\(k_{P_0T}\)（目标）

过\(P_0(x_0, y_0)\)作曲线\(y=f(x)\)的割线\(P_0Q, Q(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x)).\) 割线\(P_0Q\)的斜率\(k_{P_0Q}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x},\)成为\((x_0, x_0 + \Delta x)\)上函数值的平均变化率。
(接下来我们可以构造趋近过程：\(Q\to P_0\Leftrightarrow\Delta x\to0, \,f(x_0 + \Delta x)\to f(x_0)\Rightarrow f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\to0\Rightarrow\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y\to0\Leftrightarrow f(x)\)在\(x\)处连续。)
\(k_{P_0T}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}k_{P_0Q}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.\)(极限存在)

\(2^。\) 瞬时速度

质点作变速直线运动，求\(t_0\)时的瞬时速度\(v(t_0).\)

设质点作变速直线运动，在\(t\)时刻的位移是\(s=s(t),\,\)在\(t_0\)时刻起一小段时间\(\Delta t\)内的平均速度\(\overline{v}=\frac{s(t_0+\Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}\)，瞬时速度\(v(t_0)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\overline{v}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\)(实际上，由于物理位移的连续必然属性,极限存在).

\(3^。\)人口增长率问题

求某一时刻\(t_0\)时，人口的增长率\(k_{t_0}\)。(设\(t\)时刻某地区人口\(N=N(t)\))。
由前两个问题的研究我们直接写出结果：
\(\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{N(t_0+\Delta t)-N(t_0)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{\Delta N}{\Delta t}\)同样是由于人口变化的实际，这个函数必然是连续的，从而原式极限存在\(=k_{t_0}.\)

从以上几个例子中我们应该看到，导数存在鲜明的实际意义，这一点在建立微分方程的时候很关键。

1.2. 导数的定义

设\(y=f(x)\)在\(u(x_0, \delta_0)\)内有定义\((\delta_0>0)，\)且\(x_0+\Delta x\in u(x_0, \delta_0).\)若：

\(1^。\)\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)（抽象函数时使用）
或\(2^。\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x_0}\)（用于初等函数公式推导，强调增量）
或\(3^。\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_)}{x-x_0}\)（用于研究一点是否可导，变量不是主要因素，强调定点\(x_0\)）

存在，则称函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处可导。该点导数值即为这个极限的值，记作\(f'(x_0)\)或\(y'\big|_{x=x_0}\)或\(\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}\)或\(\frac{df(x)}{dx}\Big|_{x=x_0}.\)
有方程

\[\lim\limits_{\Delta\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0). \]

有了等式才有推理空间
则称\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，\(f'(x_0)\)称为\(f(x_0)\)在\(x=x_0\)的变化率。否则\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处不可导。

1.3. 导数的意义

\(1^。\)\(f'(x_0)\)存在，则\(f'(x_0)\)表示曲线\(y=f(x)\)上点\((x_0, y_0)\)处切线斜率，在该点的切线方程为\(y-y_0=f(x_0)(x-x_0),\)同样地可以写出法线方程\(y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)(f'(x_0)\not= 0)\).
- 另外讨论\(f'(x_0)=0,\)切线\(y=y_0,\)法线\(x=x_0.\)
- 若\(y=f(x)\)在曲线上点\((x_0, y_0)\)处切线存在，推不出\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导。
\(2^。\)\(s'(t_0)=v(t_0)\)
\(3^。\)\(N'(t_0)=kt_0\)

1.4. 左右导数

设\(f(x)\)在\([x_0, x_0+\delta_0)(\delta_0>0)\)内有定义\(x_0+\Delta x\in(x_0, x_0+\delta_0).\)
若\(\lim\limits_{\Delta \to0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)存在，则称函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处有右导数。记为\(=f'_+(x_0).\)
同样可以定义左导数，在这里不再赘述。

\(1^。\)定理：\(f(x)\)在\(x=x_0\)处可导\(\Leftrightarrow f(x)\)在\(x_0\)处左右导数存在且相等。
\(2^。\)定理（可导的必要条件）
若\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，则\(f(x)\)在\(x_0\)处连续。但是反之不成立。
简证：由\(y=f(x)\)在\(x_0\)处不可导，有\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0),\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)\xlongequal{极限四则运算法则}0.\)
反例:\(|x|=\sqrt{x^2}\)是初等函数，在\(x=0\)处连续但不可导。
\(3^。\)（可导必要条件的逆否）
不连续则不可导。（链接jc.ex1.1994.3）

1.5. 导函数

关于可导性的几个宏

若\(y=f(x)\)在开区间\((a, b)\)内每一点都可导（双侧可导），称\(f(x)\)在\((a, b)\)内可导。
若\(y=f(x)\)在\((a, b)\)内可导，在\(x=a\)处右可导，\(x=b\)处左可导，则称\(y=f(x)\)在\([a, b]\)上可导。

1.5.1. 引入

若函数\(y=f(x)\)在区间\(I\)上可导（\(I\)可开可闭可半开），则\(I\)上每一个确定的\(x\)都对应一个极限，这一系列的极限又构成一个函数。

\(\forall x\in I, \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)(存在)\(=f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}f(x).\)这个求解导数的法则，也能作为一个函数的对应法则。按照函数定义知\(f'(x)\)是区间\(I\)上\(x\)的函数，称为\(y=f(x)\)的导函数或简称为导数。

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1.5.2. 导函数的性质定理

若\(f'(x)\)是区间\(I\)上\(f'(x)\)的导函数，则\(f'(x_0)=f'(x)\Big|_{x=x_0}\)
简证：由\(f(x)\)在\(I\)上可导，即\(\forall x\in I,\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)\).
现取\(x=x_0\in I.\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f‘(x)\Big|_{x=x_0}\)左边是导数定义，右边是导函数带代入值。

2. 求导

2.1. 求基本初等函数的导函数

这一系列的求算都是为了求一般的初等函数作准备。

2.1.1. 常值函数

\(y=C,\,x\in\mathbb{R}.\)

\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{C-C}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}0=0\)
得：

\[\forall x\in\mathbb{R}, (C)'=0. \]

2.1.2. 指数函数

\(y=a^x(a>0, a\not=1,a\)为常数\()，x\in\mathbb{R}.\)

\(\forall x\in\mathbb{R}\)（求解过程中\(x\)是常量）\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\lim\limits_{\Delta x\to0}=a^x\ln a.\)
得：

\[(a^x)'=a^x\ln a. \]

特别地，\((e^x)'=e^x.\)

2.1.3. 对数函数

\(y=\log_ax(a>0, a\not=1, a\)为常数\()\)
\(\forall x\in(0, +\infty),\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_ax}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\ln(1+\frac{\Delta x}{x})}{x\frac{\Delta x}{x}\cdot\ln a}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{1}{x\ln a}\).
特别地，\((\ln x)'=\frac{1}{x}.\)

2.1.4. 幂函数(\(\ast\))

\(\forall x\in\mathbb{D},(x\not=0)\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{{(x+\Delta x)}^a-x^a}{\Delta x}=x^a\cdot\frac{{(1+\frac{\Delta x}{x})}^a-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}=x^a\cdot\frac{a}{x}=a\cdot x^{a-1}.\)
现在另外讨论\(x=0\in\mathbb{D}(\)因为\(0^a\)有意义\()\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^a}{x}=\)

\[\lim\limits_{x\to0}x^{a-1}=. \begin{cases} 0&a>1\\ 1&a=1\\ \infty&0<a<1 \end{cases}\]

2.1.5. 正弦余弦

\(\forall x\in\mathbb{R},\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{2\cos(x+\frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})=\cos x.\)

同理\((\cos x)=-\sin x, x\in\mathbb{R}\)

2.2. 函数的求导法则

2.2.1. 四则运算法则

线性加减：\((u(x)\pm v(x))'=u'(x)\pm v'(x).\)
莱布尼茨乘除：\((u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\)
\(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}{v^2(x)}\)
从而我们可以求解\((\tan x)'=(\frac{\sin x}{\cos x})'=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x.(\cot x)'=-\csc^2x(x\not=k\pi, k\in\mathbb{Z}), (\sec x)'=(\frac{1}{\cos x})'=-\frac{-\sin x}{\cos^2x}=\sec x\tan x(k\not=\frac{(2k+1)\pi}{2},k\in\mathbb{Z}).\)同理\((\csc x)'=-\csc x\cot x.\)

2.2.2. 反函数求导法则

分析：若\(y=f(x)\)的反函数\(x=\varphi(y), \varphi'(y)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\not=0\)，那么\(f'(x)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1}{\varphi'(x)}.\)

\(\varphi'(y)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{\Delta x}{\Delta y},\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}\big(\)由\(x=\varphi(y)\)严格单调，则\(y=f(x)\)严格单调\(,\Delta x\to0,\Delta x\not=0, \Rightarrow x-x_0\not=0\Rightarrow x\not= x_0\Rightarrow f(x)\not=f(x_0)\Rightarrow f(x)-f(x_0)\not=0\Rightarrow[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]\not=0\Rightarrow \color{#00FFFF}\Delta y\not=0.\big)\)
由\(x=\varphi(y)\)可导且连续，知\(x=\varphi(y)\)连续。即有\(\color{#00FFFF}\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0.\)
从而原式可以转化为\(\lim\limits_{\Delta y\to0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{\varphi'(x).}\)

由此我们可以得到一系列反三角函数的导数（略去）。

2.2.3. 复合函数求导法则

\(y=f(u),u=\varphi(x),\)求\(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=?\)

定理：复合函数求导法则
若\(u=\varphi(x)\)对\(x\)可导，\(y=f(u)\)对\(u\)可导，则复合函数\(y=f[\varphi(x)]\)也可导，且\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\)，这个运算法则称为链式法则。

\(\color{#FF0000}{区别}\) \((f[\varphi(x)])'\)和\(f'(\varphi(x)).\)前者是对\(x\)导，后者是对\(u\)导。

证明：由\(f'(u)\)存在，知\(\lim\limits_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u),\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=\varphi'(x),\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\xlongequal{u=\varphi(x)可导必连续}\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot \lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=f'(u)\cdot \varphi'(x)=[f(\varphi(x))]'.\) ■

\(\color{#00FFFF}{思考：}\)在某处会不会出现\(\Delta u=0\)导致分式无意义的情况呢？显然有可能。所以这个方法emmm留着玩罢

证法二：
由\(f'(u)\)存在，即\(\lim\limits_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u).\)利用无穷大与极限的关系，我们得到这样的表达式：\(\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+\alpha,\lim\limits_{\Delta u\to0}\alpha=0.\)在这个式子中\(\Delta u\not=0.\)并补充定义\(\alpha =0,\)当\(\Delta u\not=0.\)
于是\(\lim\limits_{\Delta \to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f'(u)\Delta u+\alpha\Delta u}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha\frac{\Delta u}{\Delta x}]=f'(u)\varphi'(x)+0\cdot\varphi'(x)=f'(u)\varphi'(x).\)从而\(\Delta u\)可以为0，毕竟主推导过程并未出现\(\frac{1}{\Delta u}\)结构。

链式法则也可以推广到多项，并利用数学归纳法证明
同时出于书写的简便性原则，我们也可以将其提炼为内层-外层法则。

例求\(\sin(x^2+x)\)的导数。(Thomas.p208.ex4)
\(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin(x^2+x)=\cos(\underbrace{x^2+x}_\text{单独的里面函数})\cdot(\underbrace{2x+1}_\text{里面函数的导数})\)
另外几个有价值的例子：
\(1^。\)\(y=\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}}+\sqrt{1+\cos^2(\frac{1}{x})+\sin^2(\frac{1}{x})}\).

先化简再求导
- 原式\(=\frac{1}{2}\cdot 2x\ln e-\frac{1}{2}\ln(e^{2x}-1)+\sqrt2.\)
- 再求导\(=1-\frac{1}{2}\frac{1}{e^{2x}-1}\cdot2e^{2x}=-\frac{1}{e^{2x}}.\)
\(2^。\)\((\ln|x|)'=\frac{1}{x}.\)

这不仅为我们求解一般的对数绝对值提供了很大的帮助，更是为求积分的一个易错点作准备。
\(3^。\)\(\color{#FF0000}{例误}\)\(y'=(x^{\sin x})'=\sin x\cdot x^{\sin x-1}???\)
- 注意：幂函数求导法则可是常数啊老哥！
\(4^。\)一点提醒：对分段函数，如果在分界点处左右表达式不同，需要求左右导数。因为
1. 很有可能有一侧的导数不存在\(?\)
2. 想象那个末端的延长趋势，极大可能不一样噢。

2.3. 高阶导数

2.3.1. 高阶导数相关概念

若\(f(x)\)在区间\(I\)上的导函数\(f'(x)\)在\(I\)上可导，即\([f'(x)]'(\)存在\()=f''(x)\),\(y'=y''=\frac{\mathrm dy'}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}y'=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\xlongequal{\mathrm {def}}\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}\)
注意：

\(dx^2=\mathrm dx\cdot\mathrm dx=(\mathrm dx)^2\not=\mathrm d(x^2)=2x\mathrm dx.\)
若函数\(f(x)\)在\(x\)处\(n\)阶可导，则在点\(x\)的某邻域内\(f(x)\)必定有一切低于\(n\)阶的导数。

2.3.2. 某些基本函数的n阶导数

这个标题的隐含意思是说，许多函数的高阶导数求不出来/绝大多数函数的很高很高阶的导数求不出来。
两个主要方法利用公式，归纳。

例

\(1^。\)（函数的更高阶不易求）\(y=e^{-x^2}.\)
- \(y'=e^{-x^2}\cdot(-2x)\)
- \(y''=e^{-x^2}(-2x)\cdot(-2x)+e^{-x^2}\cdot(-2)=-2e^{-x^2}(1-2x^2).\)
\(2^。\)（容易看出规律）\(y=x^a\)
- \(y'=a\cdot x^{a-1}\)
- \(y''=a(a-1)\cdot x^{a-2}.\)
- \(\cdots\cdots\)
- \(y^{(n)}=a(a-1)\cdots(a-n+1)\cdot x^{(a-n)}\)
- (数学归纳法证)
特别地，取\(a=n，\)则\((x^n)^{(n)}=n!.\)
另外，\(\forall n, m\in \mathbb{N}, m>n,(x^n)^{(m)}=0.\)

有趣的问题：\(0^0\)的存在性，可以为了计算方便，记作1；但也可根据构造说明无意义:\(0^0=0^{(1-1)}=\frac{0}{0}?\)
\(3^。\)\(y=\ln x\)（求一二阶导规律不明显）
- \(y'=\frac{1}{x}\)
- \(y''=-\frac{1}{x^2}\)
- \(y'''=\frac{2}{x^3}\)
- \(\cdots\cdots\)
- \(y^{(n)}=(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!\cdot x^{-n}\)
- 我们也可以使用幂函数的解法：
  
  \[\begin{aligned} &y^{(n)}=(x^{-1})^{(n-1)}\\ =&(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!\cdot x^{-1-(n-1)}\\ =&(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n} \end{aligned}\]
- 同理，由于\((1+x)'=1,\)得
  
  \[[(1+x)^a]^{(n)} =a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1)(1+x)^{a-n}; \]
  
  \[[\ln(1+x)]^{(n)} =(-1)^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^{n}} \]
\(4^。\)对\(y=\sin x\):
- \(y'=\cos x\)
- \(y''=-\sin x\)
- \(y'''=-\cos x\)
- \(y''''=\sin x\)(经过四次导数变了回来？)
- 如果分类的话，与守株待兔有某种神似，是很低效而滑稽的。
- 寻找转机：\(\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})?\)类似地写下去。
- 猜想并证明：
\[(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{k\pi}{2}). \]
- 同理有
  
  \[(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{k\pi}{2}). \]

2.3.3. 高阶导数的运算性质

2.3.3.1. 四则运算性质

若\(u^{(n)},v^{(n)}\)均存在，则:

\[\begin{aligned} (u\pm v)^{(n)}&=u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (Cu)^{(n)}&=C\cdot u^{(n)}\\ (uv)^{(n)}&=\sum_{i=1}^n C^i_n u^{(n-i)}\cdot v^{(i)} \end{aligned}\]

2.3.3.2. Leibniz法则变式

若一个乘式中有一项禁不住导，把其“看成”\(v\)，另一项有\(n\)阶导数公式，从而使用Leibniz公式求解即可。

例\(e^x\cdot x^2?\)

\[\begin{aligned} &(e^x\cdot x^2)^{(n)}\\ =&C_n^0 e^x\cdot x^2+C_n^1 e^x\cdot 2x+C_n^2 e^x\cdot2\\ =&e^x(x^2+2nx+n(n-1)) \end{aligned}\]

2.3.3.3. 变成加和

更多地，我们会发现Leibniz公式在绝大多数情况下，并不好用，简洁易行的加和公式不失为一个很好的选择。

例
- \(1^。\)
  \(y=\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+2)(x+1)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)
  \(y^{(n)}=[(x+1)^{-1}-(x+2)^{-1}]^{(n)}=(-1)^{n}\cdot n!((1+x)^{-n}-(2+x)^{-n}).\)
- \(2^。\)\(e^x\cos x.\)虽然两个均有\(n\)阶导数公式，但二者均不会导为0.从而考虑多次导找规律。

2.4. 方程确定函数的求导

2.4.1. 显函数与隐函数

定义：设\(F(x, y)=0,D,C\)均为非空实数集，如果\(\forall x_0\in D, F(x_0, y) = 0\)有唯一的解\(y_0,\)即\(F(x_0, y_0) = 0, y_0\in C,\)按照函数的定义，得到了\(D\)上的一个函数，记作\(y=y(x),\)称为方程\(F(x, y)\)确定的函数，如何求\(y=y(x)\)的导数，如果从\(F(x, y)=0\)中解出\(y\)用\(x\)的表示，则称\(y=y(x)\)是显函数。

例 \(y^3-c^3 = 1\)确定\(y=y(x),y=\sqrt[3]{1+x^3},x\in\mathbb{R},\)满足\((\sqrt[3]{1+x^3})^3-x^3\equiv1\)(恒等关系)

如果\(F(x, y)=0\)确定\(y=y(x)，\)但是\(y\)不能用\(x\)的具体表达式表示，称为方程确定的隐函数.

例
方程\(y-xe^y=1\)确定的函数\(y=y(x)\)为隐函数，有\(y(x)-xe^{y(x)}\equiv1.x\in D\)
对方程两边同时求导

\[y'(x)-e^{y(x)}-xe^{y(x)}\cdot y'(x)=0. \]

整理得：

\[y'(x)=\frac{e^{y(x)}}{1-xe^{y(x)}} \]

若求\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\Big|_{x=0},\)由方程得\(y=1，\)故而\(y'=e.\)
从而求得，在曲线上\((0, 1)\)处切线方程：\(y-1=ex,\)
法线方程：\(y-1=-\frac{1}{e}x.\)
\(y''=\frac{e^yy'(1-xe^y)+e^{2y}(xy'+1)}{(1-xe^y)^2}\)
也可以对方程求导。（对直接求值的问题更加方便）

例 \(y=f(x+y)，\)求\(\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2},\)其中\(f\)二阶可导。
解：由\(y=y(x),\)方程两边对\(x\)求导，\(y'=f'(x+y)\cdot(1+y')\Rightarrow y'=\frac{f'}{1-f'}(1).\)\(y''=\frac{(1+y')f''(1-f')+f'\cdot (1+y')f''}{(1-f')^2},\)再代入\((1)\)式即可 ■

2.4.2. 对数微分法

当项数较少时仍然可以使用\(f(x)=e^{\ln f(x)}\)变形。但项数过多以后，写在\(e\)头上的函数式就会显得臃肿。

例
- \(y=x^{\sin x}\)\(\ln y=\sin x\ln x.\)隐函数求导：\(\frac{1}{y}\cdot y'=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}.\)
- \(y=\frac{(\ln x)^x}{x^{\ln x}},\)求\(y'\)\(\ln y=x\ln\ln x-(\ln x)^2.\)
  隐函数求导：\(\frac{1}{y}\cdot y'=\ln\ln x+x\frac{1}{\ln x}\frac{1}{x}-2\frac{\ln x}{x}\)
例二 \(y=\frac{\sqrt[3]{3x+1}\cdot x^2}{\sqrt{2x+1}\cdot\sqrt[3]{1-5x}}\)
- \(\ln y=\frac{1}{3}\ln|3x+1|+2\ln |x|-\frac{1}{2}\ln|2x+1|-\frac{1}{3}\ln|1-5x|\)
- \(\frac{1}{y}\cdot y'=\frac{1}{3}\frac{1}{3x+1}3+2\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{2x+1}2-\frac{1}{3}\frac{1}{1-5x}(-5)\)
- \(y'=y\cdot(\frac{1}{3x+1}+\frac{2}{x}-\frac{1}{2x+1}+\frac{5}{3(1-5x)}\)
这个题目中关于根式的对数，最好取绝对值，这样相当于扩大定义域。在较大的定义域都能成立的话，缩小到小范围自然能成立。

3. 微分

3.1. 微分的引入

若\(y=f(x)\)在\(x\)处可导，按照定义\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)\Leftrightarrow\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha\Leftrightarrow\Delta y = f'(x)\Delta x+\alpha\Delta x.\)其中\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\alpha = 0.\)故而\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\alpha\Delta x}{\Delta x}=0.\)知\(\alpha\Delta x=o(\Delta x)(\Delta x\to0),\)从而\(\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x).\)（当\(|\Delta x|\)很小\(|o(\Delta x)|\)更小）\(\therefore\Delta y\approx f'(x)\Delta x\)

3.2. 微分

3.2.1. 线性的主部

设\(y=f(x),\)若\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\)可表示为\(\Delta y=A\Delta x + o(\Delta x)(\Delta x\to0)\)其中\(A\)是与\(\Delta x\)无关的，称\(y=f(x)\)在\(x\)处可微，其中\(A\Delta x\)称为\(y=f(x)\)的线性主部/微分，记作\(\mathrm dy.\)即\(\mathrm dy= A\Delta x.\)

线性主部这个概念极好地描述了微积分的线性拟合的思想，也说明了微分作为主要部分的特征。

3.2.2. 可导可微的关系

可微即可导。(一元函数微分学的归结原则)

充分性是显然的，下证必要性。

\(f(x)\)在\(x\)处可微，由定义知\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta \to0)\)于是\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}]=A\big(=f'(x)\big),\)

3.2.3. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\)的理解

如果\(y=f(x)\)在\(x\)处可微(\(x\)为自变量) \(\mathrm dy=f'(x)\Delta x\)或\(\mathrm df(x)=f'(x)\Delta x\)
由\(y=x\)在\(x\)处可导\(\Leftrightarrow\)在\(x\)处可微。
得\(\mathrm dx=\Delta x:\)自变量的增量=自变量的微分。
于是原式可以化成\(\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx\)即\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(x).\)自此我们证明了原来导数记号的除式的本质。导数也可以称为微商。

3.2.4. 基本初等函数的微分公式

\(\mathrm dy=f'(x)\mathrm dx\)

3.3. 求微分

3.3.1. 常见微分公式

（见上一节）

3.3.2. 微分的四则运算法则

若\(u(x), v(x)\)均可微，则\(\mathrm d(u\pm v)=\mathrm du \pm \mathrm dv\)
\(\mathrm d(C\cdot u)=C\mathrm du\).
\(\mathrm d(uv)=v\mathrm du + u\mathrm du.\)
\(\mathrm d(\frac{u}{v})=\frac{v\mathrm du-u\mathrm dv}{v^2}(v\not=0)\)

3.3.3. 微分的一阶形式不变性

这个性质与复合函数求导法则是对应的。同时，这样的结构性的性质由于抽象程度相应更高，从而还能逆用作为不定积分的理论基础。
大致的理解就是在考察一个函数的微分的时候，我们可以将某一个变量块(中间变量)看作一个整体，作为自变量，将求复杂微分变成复合函数微分，利用Thomas中齿轮的理解，复合函数的微分就是只着眼于最后一个齿轮传动点。亦是外层-里层法则的思想的体现。

若\(y=f(x)\)可微，且\(x\)为自变量，则\(\mathrm dy = f'(x)\mathrm dx.\)
若\(y=f(x)\)可微，\(x=\varphi(t)\)可微，\(t\)为自变量，于是\(\mathrm dy=[f(\varphi(t))]'\mathrm dt.\Rightarrow\mathrm d(f(\varphi(t)))=f'(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm dt\)=\(f'(\varphi(t))\mathrm d\varphi(t)\xlongequal{x=\varphi(t)}\Rightarrow\mathrm df(x)=f'(x)\mathrm dx.\)知\(x\)为中间变量时，这个形式仍然成立。亦即\(y=f(x)\)可微，不论\(x\)时自变量还是中间变量。都有\(\mathrm df(x)=f'(x)\mathrm dx.\)
这个性质称为微分的一阶形式不变性

若\(y=f(u),\)如果\(\mathrm dy=g(u)\mathrm du = \mathrm df(u)=f'(u)\mathrm du.\)则\(f'(u)=g(u),\frac{\mathrm dy}{\mathrm du}=g(u)\)（微商性质的体现）

运用时，类似里层-外层的法则。不再赘述

3.3.4. 微分的分析理解

\(\Delta x\to0, \Delta y\sim \mathrm dy.\)称\(\mathrm dy\)是\(\Delta y\)的最佳近似，即\(\Delta y=f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\Delta x.\Rightarrow f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\).
若\(y=f(x)\)在\(x\)处可微，\(\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)=f'(x)\mathrm dx + o(\Delta x),\)当\(|\Delta x|\)很小，有\(\Delta y = \mathrm dy.\)若\(f'(x)\not=0,\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\mathrm dy}=\frac{f'(x)\Delta x+o(\Delta x)}{f'(x)\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}[1+\frac{1}{f'(x)}\cdot\frac{i(\Delta x)}{\Delta x}]=1.\)这说明当\(|x|\)很小的时候，\(f(x)=f(0+x)\approx f(0)+f'(0)x\)
这样的近似的正确性我们也可以通过其他方式验证。
例如求\(f(x)=(1+x)^a\)的近似值时的\((1+x)^a\approx1+ax,\)经由\(\lim\limits_{x\to0}\frac{(1+x)^a-1}{x}=a\)可验证。

3.4. 微分性质综合应用举例——参方求导

除了隐函数之外，综合型求导只能靠参方，极坐标也可以认为在参数方程之下。

若

\[\begin{cases} x=\varphi(t),&\\ y=\psi(t)& \end{cases}\]

确定\(y=y(x),\)求\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}.\)
分析

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\left(=\frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}}\right)\left(=\frac{\mathrm d\psi(t)}{\mathrm d\varphi(t)}=\frac{\psi'(t)\mathrm dt}{\varphi'(t)\mathrm dt}\right)=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]

总结：若\(\varphi'(t),\psi'(t)\)存在且\(\varphi'(t)\not=0,\)则\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)
也可以理解成一阶微分形式不变性+反函数微分法则的综合。

例

\(1^。\)

\[\begin{cases} x&=f'(t)\\ y&=f(t)-tf'(t). \end{cases}\]

\(f'''(t)\)存在，\(f''(t)\not=0,\)求\(\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm dx^3}\).
解：\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-t.\)
\(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm d^2x}=\frac{(-t)'}{f''(t)}.\)
\(\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}=\frac{\frac{f'''(t)}{(f''(t))^2}}{f''(t)}=\frac{f'''(t)}{[f''(t)]^3}\)

\(2^。\)

\[\begin{cases} x&=\ln(1+t^2)\\ y&=t-\arctan t \end{cases}\]

则：

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1-\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{t}{2} \]

\[\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{4t}. \]

Honour Van

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