【高等数学】导数与微分

本文为高等数学的学习笔记,讲解导数与微分。欢迎交流

导数概念

导数的定义

函数在一点处的导数

函数在 x 0 x_0 x0 处可导,取 x 0 x_0 x0 处的增量 Δ x \Delta x Δx
f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} f(x0)=Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)
或:
f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)
可记作 y ′ ∣ x = x 0 , d y d x ∣ x = x 0 y'|_{x=x_0},\frac{dy}{dx}|_{x=x_0} yx=x0,dxdyx=x0 d f ( x ) d x ∣ x = x 0 \frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0} dxdf(x)x=x0

单侧导数

由极限存在的充要条件有,可导的充要条件为左右极限都存在且相等:
lim ⁡ h → 0 − f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) x − x 0 , lim ⁡ h → 0 + f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x-x_0},\quad \lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x-x_0} h0limxx0f(x0+h)f(x0),h0+limxx0f(x0+h)f(x0)
注意:判断导数在闭区间可导要考虑端点的情况

导数的应用

在点 M ( x 0 , y 0 ) M(x_0,y_0) M(x0,y0) 处的切线方程为:
y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) yy0=f(x0)(xx0)
法线方程为:
y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) yy0=f(x0)1(xx0)

可导与连续性的关系

可导必连续,连续不一定可导。

函数的求导法则

商求导法则

( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} (vu)=v2uvuv

反函数求导法则

若函数可导,则反函数也可导:
[ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) , d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)},\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} [f1(x)]=f(y)1,dxdy=dydx1
反函数的导数=直接函数导数的倒数。

复合函数的求导法则

从内向外逐层求导:
d y d x = d y d u ⋅ d u d x , y ′ ( x ) = f ′ ( u ) g ′ ( x ) \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}, \qquad y'(x)=f'(u)g'(x) dxdy=dudydxdu,y(x)=f(u)g(x)

基本求导法则与导数公式

导数公式

( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (\tan x)'=\sec^2x \qquad (\cot x)'=-\csc^2x (tanx)=sec2x(cotx)=csc2x

( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (\sec x)'=\sec x\tan x \qquad (\csc x)'=-\csc x\cot x (secx)=secxtanx(cscx)=cscxcotx

( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a (a^x)'=a^x\ln a \qquad (\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} (ax)=axlna(logax)=xlna1

( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1(arccosx)=1x2 1

( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 ( arccot ) ′ = − 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} \qquad (\textrm{arccot})'=-\frac{1}{1+x^2} (arctanx)=1+x21(arccot)=1+x21

高阶导数

初等函数的高阶导数:
( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) (\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}) (sinx)(n)=sin(x+n2π)

( cos ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) (\cos x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}) (cosx)(n)=sin(x+n2π)

[ ln ⁡ ( 1 + x ) ] ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( 1 + x ) n [\ln(1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n} [ln(1+x)](n)=(1)n1(1+x)n(n1)!

莱布尼兹公式:
( u v ) ( n ) = u ( n ) v + n u ( n − 1 ) v ′ + n ( n − 1 ) 2 ! u n − 2 v ′ ′ + . . . (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2!}u^{n-2}v''+... (uv)(n)=u(n)v+nu(n1)v+2!n(n1)un2v+...

+ n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! u ( n − k ) v ( k ) + u v ( n ) +\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}u^{(n-k)}v^{(k)}+uv^{(n)} +k!n(n1)...(nk+1)u(nk)v(k)+uv(n)

记忆技巧,按二项式定理展开:
( u + v ) n = u n v 0 + n u n − 1 v 1 + n ( n − 1 ) 2 ! u n − 2 v 2 + . . . + u 0 v n (u+v)^n=u^nv^0+nu^{n-1}v^1+\frac{n(n-1)}{2!}u^{n-2}v^2+...+u^0v^n (u+v)n=unv0+nun1v1+2!n(n1)un2v2+...+u0vn
即:
( u + v ) n = ∑ k = 0 n C n k u n − k v k (u+v)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ku^{n-k}v^k (u+v)n=k=0nCnkunkvk
( u + v ) (u+v) (u+v) 换为 ( u v ) (uv) (uv) k k k 次幂换为 k k k 阶导数:
( u v ) n = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} (uv)n=k=0nCnku(nk)v(k)

隐函数

隐函数的导数

将隐函数两边同时对 x x x 求导,注意此时 y y y x x x 的函数。

对数求导法:函数两边取对数,再求出 y y y 的导数。当底数和指数都含有变量时,一般取对数进行处理。

参数方程确定的函数的导数

导数公式:
d y d x = ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)} dxdy=ϕ(t)ψ(t)
二阶导数公式:
d 2 y d x 2 = ψ ′ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) − ψ ′ ( t ) ϕ ′ ′ ( t ) ϕ ′ 3 ( t ) \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{\phi'^3(t)} dx2d2y=ϕ3(t)ψ(t)ϕ(t)ψ(t)ϕ(t)

相关变化率

函数的微分

微分定义

可微的充要条件是可导,且微分为 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x dy=f'(x_0)\Delta x dy=f(x0)Δx

几何意义

在这里插入图片描述

基本初等函数的微分公式和微分运算法则

函数和差积商的微分法则

d ( u ± v ) = d u + d v d(u±v)=du+dv d(u±v)=du+dv

d ( C u ) = C d u d(Cu)=Cdu d(Cu)=Cdu

d ( u v ) = v d u + u d v d(uv)=vdu+udv d(uv)=vdu+udv

d ( u v ) = v d u − u d v v 2 d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2} d(vu)=v2vduudv

复合函数的微分法则

d y = f ′ ( u ) d u = f ′ ( u ) g ′ ( x ) d x dy=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx dy=f(u)du=f(u)g(x)dx

微分形式不变性:当变换自变量时,微分形式 d y = f ′ ( u ) d u dy=f'(u)du dy=f(u)du 不改变

微分在近似计算中的应用

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