再谈欧拉函数

欧拉函数证明：

　　小于等于n的基数有n个，讨论所有n的素因子，只要是素因子的倍数的是都不是n的互质数。

首先如果如果n为素数那么，φ(n)=n-1；

如果n不是素数，只要除去n的质因子和n的质因子的倍数就可以了，①因为任意一个数都能表示成若干个素数的乘积，所以只要除去质因子的以及倍数就够可以了，因为如果出去的不是质因子，那么这个因子还能继续被分解成若干个质因子的乘积又能被n整除，综上那么就有基数n减去所有是质因子倍数的个数，然后加上任意两个，减三个，加四个…质因子积的倍数（容斥定理），②φ(n)=n-n/p1-n/p2-n/p3-n/p4….-n/pn+n/(p1*p2)+n/(p1*p3)…（容斥定理），所以②式得出的就是所有的互质数的个数。可化简为φ(n)=n*(1-1/p1) *(1-1/p2) *(1-1/p3)…*(1-1/pk);

①式证明：当n=2时，显然成立；

                假设当n=k时成立；

                那么当n=k+1时，如果n是素数那么显然成立，如果不是素数那么n一定能分解成两个数的乘积，又因为n=k时是成立的，所有综上所述结论成立

另外欧拉函数还有两条重要的性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

欧拉函数代码：

int Eular(int n)
{
	int ans = n;
	for (int i = 2 ; i * i <= n ; i++)
	{
		if (n % i == 0)
		{
			ans -= ans / i;
			while (n % i == 0)
				n /= i;
		}
	}
	if (n > 1)
		ans -= ans / n;
	return ans;
}

另一个版本： 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
int oula(int x)
{
	int res=1;
	//x为素数时 
	//不断去找素因子及素因子的倍数 
	for(int t=2;t*t<=x;t++)
	{
		if(x%t==0)
		{
		x/=t;
		res*=t-1;
		while(x%t==0)
		{
			x/=t;
			res*=t;
		}
	    }
	}
	//x为合数时 
	if(x>1)
	res*=x-1;
	
	return res;
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<oula(n)<<endl;
	
	return 0;
}