欧拉函数证明

转载于：https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672  ， https://blog.csdn.net/sentimental_dog/article/details/52002608

请思考以下问题：

　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

　　n = p1 × p2

则

　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1

欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.

函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n无公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1',p2',p3'...pn'为n的质因数,而m,n无公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).

？这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。？//暂时还看不太懂

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，得到

再根据第3条的结论，得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.

对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

除了N=2,φ(N)都是偶数.

设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.

如果我们要求1000000以内所有数的欧拉函数,怎么办.

上面的方法复杂度将高达O(N*sqrt(N)).

我们来看看线性筛法的程序:

代码来源：http://blog.csdn.net/once_hnu/article/details/6302868

[cpp]  view plain  copy

 

 

 

1. //直接求解欧拉函数  
2. int euler(int n){ //返回euler(n)   
3.      int res=n,a=n;  
4.      for(int i=2;i*i<=a;i++){  
5.          if(a%i==0){  
6.              res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
7.              while(a%i==0) a/=i;  
8.          }  
9.      }  
10.      if(a>1) res=res/a*(a-1);  
11.      return res;  
12. }  
13.   

它在O(N)的时间内遍历了所有的数,并且有很多的附加信息,

那么我们是不是能在筛素数的同时求出所有数的欧拉函数呢.

答案是可以.

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了，可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值：
设一数组phi[11]，赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后从2开始循环，把2的倍数的φ值*(1-1/2)，则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍数的φ值*(1-1/3)，则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因为对每个素数都进行如此操作，因此任何一个n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的，以前求数的所有因子之和也是用的它。

我们知道，一个数K能分解成p1^(q1)*p2^(q2)...

那么，这个数的因子个数就是(1+q1)*(1+q2)*...*（1+qk）

代码如下：

 

[cpp]  view plain  copy

 

1. <span style="font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">void Init(){     
2.      euler[1]=1;    
3.      for(int i=2;i<Max;i++)    
4.        euler[i]=i;    
5.      for(int i=2;i<Max;i++)    
6.         if(euler[i]==i)    
7.            for(int j=i;j<Max;j+=i)    
8.               euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出     
9. }  </span></span>