欧拉函数复习

介绍

在数论中,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

我们常用\(phi(p)\)来表示\(p\)的欧拉函数值.

计算通式

欧拉函数的通式为：
\[phi(x) = x*(1-\frac{1}{p1})*(1-\frac{1}{p2})*(1-\frac{1}{p3})* ... *(1-\frac{1}{p_n})\]
其中\(p_i\)表示\(x\)的质因数。特别声明，\(phi(1)=1\)。

性质

• 如果\(p\)是质数
  1. \(phi(p)=p-1\)
  2. 若\(i\) mod \(p=0\), 那么\(phi(i*p)=p*phi(i)\)
  3. 若\(i\) mod \(p≠0\), 那么\(phi(i*p)=phi(i)*(p-1)\)
• 所有情况通用
  1. \(phi(p^k) = p^k-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}\)

简单的证明(对应上面每一条性质):

1. 显然,因为 \(p\)为质数,所以与它前面的\(p-1\)个数都互质.
2. 引用自Lytning's Blog
3. 因为\(i\) mod \(p ≠0\),而欧拉函数是积性函数,至于为什么是积性函数(反正积性函数这东西知道就好了,没必要会证明)可以看看这篇博客,所以\(phi(i * p)=phi(i)*phi(p)=phi(i)*(p-1)\)
4. 令\(n=p^k\),小于 n 的正整数共有\(p^{k-1}\)个,其中与 p 不互素的个数共\(p^{k-1}-1\)个，它们是\(1*p,2*p,3*p ... (p^{k-1}-1)*p\)所以\(phi(p^k) = (p^k-1)-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}\).(引用自angel_imp)

如何代码实现线性筛

这里我们需要用到前三条性质,并在筛素数的同时筛出欧拉函数.直接看代码注释吧.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=40000+5;

int n;
int prime[N];//存素数表
int size = 0;//素数表大小
int phi[N];//存欧拉函数值
bool is_prime[N];//是否为素数

void get_phi(int lim){
    memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for(int i=2;i<=lim;i++){
        if(is_prime[i])
            prime[++size] = i, phi[i] = i-1;//性质1
        for(int j=1;j<=size && i*prime[j] <= lim;j++){
            is_prime[i*prime[j]] = 0;//筛素数的过程
            if(i % prime[j] == 0){phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];break;}//性质2
            else phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);//性质3
        }
    }
}

int main(){
    cin >> n;
    get_phi(n);
    return 0;
}

拓展欧拉定理

对于任意 \(b \geq \varphi(p)\) ,有：
\[a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod{p}\]
当\(b<\varphi(p)\)时有 \(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)}\pmod{p}\).

其中 \(a,p\) 可以不互质.

证明

可以看看ez_yww的博客 (我也不太会..).