欧拉函数、欧拉定理

欧拉定理

$a^{φ(n)}\equiv1(mod\ n)$,a与n互质时成立。

欧拉函数

上式中的 $φ(n)$为欧拉函数，即区间 $\left[1,n\right)$内与 $n$ 互质（什么是互质，即两个数的公因子只有1）的数的个数。
$φ(n)=n*\prod_{i=1}^{m}{(1-\frac{1}{b_i})}$, $b_i$为质因子。
当n为质数时 $φ(n)=n-1\Rightarrow$ $a^{n-1}\equiv1(mod\ n)$,这个就是费马小定理（a与n互质时成立）。
代码：

int eular(int x)//欧拉函数
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans-=ans/x;
    return ans;
}

欧拉函数的几个性质

1.当n为质数时 $φ(n)=n-1$
2.由积性函数的性质知：若m，n互质 $φ(mn)=φ(m)*φ(n)$
3.若n为质数p的k次幂， $φ(n)=p^{k}-p^{k-1}$
4.当n为奇质数时， $φ(2n)=φ(n)$

来个例题：HDU GCD Again

题目大意：给一个数n，问在区间 $\left(1,n\right)$内有多少数个数与n的最大公约数大于1.
思路：利用欧拉函数，因为 $φ(n)$是在区间 $\left[1,n\right)$内与n互质的个数，两个数互质就说明两个数的最大公因数为1，那么在区间 $\left[1,n\right)$其他的数与n的最大公因数就肯定不为1。举个例子：在区间 $\left[1,12\right)$内，与12互质的数为：1、5、7、11。那就好办了。就求出 $φ(n)$，然后ans=(n-1)- $φ(n)$
代码：

#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long eular(long long x)
{
    long long ans=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans-=ans/x;
    return ans;
}
int main()
{
    long long n;
    while(scanf("%lld",&n)&&n)
    {
        long long ans=(n-1)-eular(n);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

下面是一些代码（非原创，看博客学习的）

const int maxn=1e4+10;
long long POW(long long a,long long b,long long mod)//快速幂
{
    long long  ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}


int eular(int x)//欧拉函数
{
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans-=ans/x;
    return ans;
}


int e[maxn];
void eular ()//打表欧拉函数
{
    for(int i=1;i<=maxn;i++)
        e[i]=i;
    for(int i=2;i<=maxn;i++){
        if(e[i]==i){
            for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
                e[j]-=e[j]/i;
        }
    }
}


int prime[MAXN];//埃筛
bool vis[MAXN];
int cou = 0;
void ai()
{
    cou = 0;
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++cou]=i;
            for(int j=2*i;j<=MAXN;j+=i)
                vis[j]=1;
        }
    }
}

void make_prime()//线性筛
{
     cou = 0;
     memset(prime,0,sizeof(prime));
     memset(vis,0,sizeof(vis));
     vis[0]=vis[1]=1;//0和1不是素数
     for(int i=2;i<=MAXN;i++)
     {
          if(!vis[i])
               prime[++cou]=i;//记录素数
          for(int j=1;j<=cou;j++){
            if(i*prime[j]>MAXN)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
          }
     }
}