欧拉函数的实现

欧拉函数的实现

定义1 ：设R是模n的的一个剩余类，若有 $a\epsilon R$,使得gcd(a,n)=1，则称R是n的一个简化剩余类。
定义2 ：对于正整数k，令函数$\varphi \left ( k \right )$的值等于模k的所有简化剩余类个数，称$\varphi \left ( k \right )$为欧拉函数。

从直观上将，欧拉函数$\varphi \left ( n \right )$的值为[1,n-1]中与n互质的数字的个数。直接找与n互质的数字很难，因此可以转换思维，去找与n不互质的数字有多少个。因此算法步骤如下：

1. 找出n的所有不重复的素因子
2. 根据容斥定理求出有多少数字与n不互斥。令k为若干个素因子的积，则有$m=\left \lfloor \frac{n-1}{k} \right \rfloor$个数能被k整除，当k为奇数个素因子的积时，则总个数加m，否则总个数减m。
3. 由于容斥定理需要遍历所有素因子的组合，因此，比如有3个素因子，则循环从1到111（二进制）就可以遍历所有组合情况。（其中某位为1表示对应的素因子参与计算。）

c++实现如下

int Euler(int n){
    int r = n-1;
    vector<int> p;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if (n%i==0){
            p.push_back(i);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if (n>1)  p.push_back(n);
    int sum = 0;
    for (int comb=1;comb<(1<<p.size());comb++){
        int mul=1,count=0;
        for (int i=0;i<p.size();i++){
            if (comb&(1<<i)){
                mul *= p[i];
                count++;
            }
        }
        int num = (r)/mul;
        if (count&1) sum+=num;
        else  sum-=num;

    }
    return r-sum;
}