前言
欧拉函数听起来很高大上，但其实非常简单，也是NOIP里的一个基础知识，希望大家看完我的博客能有所理解。
什么是欧拉函数
欧拉函数是小于x的正整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。
如何计算欧拉函数
通式： φ(x)=x∏ni=1(1−1pi)∏i=1n(1−1pi) (∏总乘积)
φ(1)=1
其中p1p1, p2p2……pnpn为x的所有质因数，x是正整数。
那么，怎么理解这个公式呢？对于x的一个质因数pipi，因为x以内pipi的倍数是均匀分布的，所以x以内有1pi1pi的数是pipi的倍数，那么有1-1pi1pi的数不是pipi的倍数。再对于pjpj，同理，有1-1pj1pj的数不是pjpj的倍数，所以有(1-1pi1pi)*(1-1pj1pj)的数既不是pipi的倍数，又不是pjpj的倍数。最后就有∏ni=1(1−1pi)∏i=1n(1−1pi)的数与x互质，个数自然就是x∏ni=1(1−1pi)∏i=1n(1−1pi)。
还不理解？没关系，举个例子。比如x=12，12以内有1212的数是2的倍数，那么有1-1212的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），这6个数里又有1313的数是3的倍数，只剩下(1-1212)* (1-1313)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。这样剩下的 12*(1-1212)*(1-1313)，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。
欧拉函数的几个性质
1.对于质数p，φ(p)=p-1。
2.若p为质数，n=pkpk，则φ(n)=pkpk-pk−1pk−1。
3.欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。若m,n互质，则φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2*n)=φ(n)。
4.当n>2时，φ(n)是偶数。
5.小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。
欧拉函数性质的粗略证明
1.因为p是质数，所以1到n-1都与n互质。
2.n只有一个质因数p，根据公式φ(x)=x∏ni=1(1−1pi)∏i=1n(1−1pi) =x*(1-1p1p)=pkpk*(1-1p1p)=pkpk-pk−1pk−1。
3.因为m与n互质，所以它们没有公共的质因数。设m有amam个质因数，n有anan个质因数。φ(m)* φ(n)=m*n * ∏ami=1(1−1pi)∏i=1am(1−1pi)* ∏ani=1(1−1pi)∏i=1an(1−1pi)=m*n * ∏am+ani=1(1−1pi)∏i=1am+an(1−1pi)=φ(m*n)。
4.前几个都可以利用公式证明，这个却不行。首先有一个基本事实（我不想证明），若gcd(n,m)=1，则gcd(n,n-m)=1（设n>m)。当m=n-m时，n=2*m，那么n>2时gcd(n,m)<>2，与前提相悖，故m<>n-m。换句话说，n>2时，与n互质的数是成对出现的，所以φ(n)必为偶数。
5.证明这个也要用到上面所说的基本事实。与n互质的数一个是m，那么还存在另一个数n-m也与n互质。所以与n互质的数的平均数是n/2，而个数又是φ(n)，可以得到这些数的和就是φ(n)*n/2。
C++求欧拉函数
观察欧拉函数的公式，φ(x)=x∏ni=1(1−1pi)∏i=1n(1−1pi) = x∏ni=1pi−1pi∏i=1npi−1pi 。我们用phi[x]表示φ(x)。可以一开始把phi[x]赋值为x，然后每次找到它的质因数就phi[x]=phi[x]/pipi*(pipi-1)（先除再乘，避免溢出）。当然，若只要求一个数的欧拉函数，可以从1到sqrt(n)扫一遍，若gcd(i,n)=1就更新phi[n]。复杂度为O(logn)（代码就不给了）。那要求1~n所有数的欧拉函数呢？可以用欧拉筛的思想，每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。这个复杂度虽然不是O(n)，但还是挺快的（复杂度应该在O(n)~O(nlogn)之间，具体是多少我也不知道）。
代码如下：
void euler(int n)
{
for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (phi[i]==i)//这代表i是质数
{
for (int j=i;j<=n;j+=i)
{
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//把i的倍数更新掉
}
}
}
}//时间复杂度O（nloglogn）总结
有关欧拉函数的性质，只需做个了解，而求欧拉函数的代码，却是一定要会写的。这只是走进数论世界的第一步。
注：转载我儿lzj之博客
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