欧拉函数 | 欧拉定理

欧拉定理：对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)

φ(N)的求解有这样几个方法（在此直接写结论 ， 不再证明）：

1.如果n为某一个素数p，则φ(p)=p-1;

比如 p = 7 , 那么φ(7) =  6 （1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，6 ）;

2.  1 与任何数都互质

3.如果 n 可以分为俩个互质数的积 ， 那么φ(n)=φ(a)*φ(b)；

例如：φ(56)=φ(7)*φ(8) = 6 * 4 = 24；

4.如果 n 为某个质数的次方（例：n = p ^ k）则有公式： φ(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1) * p ^ (k-1)

例如：φ(8) = 2^3  -  2^2  =  1  -  2^ 2 = 4;

（  特殊性质：

5.若 n 为奇数 ，则有 φ(2n) = φ(n)。

6.对于任何俩个互质的正整数a , n (n>2)

有a^φ(n)≡1 mod n （欧拉定理）

）
 

利用容斥定理

如果 n 不是质数 ， 则只需要除去  n 的质因子及 质因子的倍数 

例：φ(10) = φ(2) * φ(5)

1          2         3         4         5         6         7         8        9  

           no                  no      no       no                  no

φ(10) = 4 (1 , 3 , 7 , 9);