欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

定义

$ϕ(x)$ 表示从 $1,2,3,...,x$ 中和 $x$ 互质的数的数量

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公式

$ϕ(x)=x*\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$

其中 $p_{i}$ 是 $x$ 的质因子，且两两不同

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证明：

• $ϕ(1) =1$
• 若 $x$ 是素数，则 $ϕ(x)=x-1$
• 若 $p$是素数，则 $ϕ(p^{k})=p^{k-1}*(p-1)=p^{k}-p^{k-1}=p^{k}*(1-\frac{1}{p})$
• 若 $a，b$ 互质，则 $ϕ(a*b)=ϕ(a)*ϕ(b)$
  • 这条结论的证明需要用到中国剩余定理，如果 $a$与 $p1$互质 $(a<p1)$， $b$与 $p2$互质 $(b<p2)$， $c$与 $p1,p2$互质 $(c<p1*p2)$，则c与数对 $(a,b)$ 是一 一对应关系。由于a的值有 $ϕ(p1)$种可能，b的值有 $ϕ(p2)$种可能，则数对 $(a,b)$ 有 $ϕ(p1)*ϕ(p2)$种可能，而c的值有 $ϕ(p1*p2)$种可能，所以 $ϕ(p1*p2)$就等于 $ϕ(p1)ϕ(p2)$。

设 $x =p {_{1}}^{a_{1}}*p {_{2}}^{a_{2}}*...*p {_{k}}^{a_{k}}$

由上述结论,可得

$ϕ(x)=ϕ(p {_{1}}^{a_{1}})*ϕ(p {_{2}}^{a_{2}})*...*ϕ(p {_{k}}^{a_{k}})$

$ϕ(x)=p {_{1}}^{a_{1}}*p {_{2}}^{a_{2}}*...*p {_{k}}^{a_{k}}*((1-\frac{1}{p_{1}}))*((1-\frac{1}{p_{2}}))*...*((1-\frac{1}{p_{k}}))$

$ϕ(x)=x*\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_{i}})$

参考博客：https://blog.csdn.net/wrwhahah/article/details/82704053

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求解

从这个公式可以得到两个得到 $ϕ(x)$的方法

1. 暴力枚举质因子，时间复杂度： $O( \sqrt{x}$ $)$

int phi(int x){
    int sum=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i)
            continue;
        sum=sum/i*(i-1);
        while(x%i==0)
            x/=i;
    }
    if(x!=1)
        sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}

2. 类似素数塞，时间复杂度： $O( n )$

const int N=1e6+6;
int P[N];
bool Notprime[N];        //不是素数为true
int phi(int MAXN){      //得到1--MAXN所有数的欧拉函数值
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
        P[i]=i;

    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        if(!Notprime[i])
            for(int j=i+i;j<=MAXN;j+=i)
            {
                Notprime[j]=true;
                P[j]=P[j]/i*(i-1);
            }
}

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欧拉定理与扩展欧拉定理

公式

$a^{x} \% m\equiv\left\{\begin{matrix} & a^{x\%ϕ(m)} \%m ，x,m互质 \\& a^{x}\%m ， x<ϕ(m) \\& a^{（x\%ϕ(m)）+ϕ(m)}\%m，x>=ϕ(m)，\end{matrix}\right.$

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证明：

参考博客：https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/80693756

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练习题目：

http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1395
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6363