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欧拉函数
对于一个正整数$x$，定义它的欧拉函数$\phi (x)$，表示$[1,x-1]$中与$x$互质的数的个数。
定义$p$为质数，那么可得以下定理：
1,$\phi (1)=1$，易证，从质数的定义中就知道1与1互质；
2,$\phi (p)=p-1$，这个也很容易证明，因为$p$是质数所以与任何正整数都互质；
3,如果$p|x$，$\phi (x*p)=\phi (x) * p$，否则$\phi (x*p)=\phi (x) * (p-1)$;额，这个蒟蒻不会证，自己百度吧（>.<）；
4,$\phi (p^x)= p^x-p^{x-1}$，证明：因为$p$是质数，所以在小于$p^x$的数中与它互质的数也就是不包含$p$这个质数的数，而包含$p$的数一共有$p^{x-1}$个，所以小于且与$p^x$互质的数为$p^x-p^{x-1}$个。得证。
5,设另一个质数$q$，那么$\phi (q*p)= \phi (q) * \phi (p)=(q-1)*(p-1)$，证明：因为$q,p$都是质数，所以$q*p$的因数除了1和它本身外就只有$q,p$，那么与它互质的书的个数其实就是与$q,p$互质的数的个数之积。
了解了以上内容，那么怎么求欧拉函数呢？求欧拉函数可不可以用线性筛法求呢？不可以。为什么？自己证（我懒>.<）。
为了求欧拉函数，就有了下面要讲的欧拉筛。
欧拉筛
实际上思想和线性筛的优化版本有些相似，枚举一个数$x$的时候枚举比它小的质数$p$，因为$\phi (x)$和$\phi (p)$都已经求出来了，就可以用上面的公式求出$\phi (x*p)$。
Code：
1 int top=0,k,phi[N],q[N];phi[1]=1; 2 for(int i=2;i<N;i++){ 3 if(!vis[i])phi[q[++top]=i]=i-1; 4 for(int j=1;j<=top&&(k=i*q[j])<N;j++){ 5 vis[k]=true; 6 if(i%q[j]) 7 phi[k]=phi[i]*(q[j]-1); 8 else { 9 phi[k]=phi[i]*q[j];break;} 10 } 11 }
欧拉定理与扩展欧拉定理
欧拉定理：对于互质的整数$a,n$，有$a^{\phi (n)}\equiv 1 (mod n)$；
证明：
1，若$n$为质数，那么$\phi (n) = n-1$，由费马小定理$a^{p-1} \equiv 1 (mod p)$即可征得。
2，若$n$不是质数，那么设集合$Z={x_1,x_2,x_3..x_{\phi (n)}}$表示小于且与$n$互质的正整数的集合，那么因为$a$与$n$也互质，那么$a * x_i$与$n$也互质，也就属于集合$Z$。又对于任意的$x_i,x_j,i \neq j$，都有$a * x_i \% n \neq a * x_j \% n$（由取模的消去律可得）。那么就有
$a^{\phi (n)}*x_1*x_2*...*x_{\phi (n)} (mod n)$
$\equiv (a*x_1)*(a*x_2)*...*(a*x_{\phi (n)}) (mod n)$
$\equiv ((a*x_1 \% n)*(a*x_2 \% n)*...*(a*x_{\phi (n)} \% n)) (mod n)$
$\equiv x_1*x_2*...*x_{\phi (n)} (mod n)$
$\equiv 1 (mod n) $
又由消去律得到$a^{\phi (n)} \equiv 1 (mod n)$。
欧拉扩展定理：
$a^b \equiv a^{b \% \phi (p)} (mod p) if (gcd(a,b)=1)$
$ \equiv a^b (mod p) if(gcd(a,b)\neq1 \&\& b<\phi (p))$
$ \equiv a^{b \% \phi (p) + \phi (p)} (mod p) if(gcd(a,b)\neq1 \&\& b\geq\phi (p))$
额这个实在是懒，真的不想证（markdown格式打公式真的累。。。>.<）。