[总结] 欧拉函数

欧拉函数 $\varphi (n)$ 表示小于等于 $n$ 的数中与 $n$ 互质的数的个数
引理：
1. 如果 $n$ 为素数 $p$ ,则 $\varphi(p)=p-1$
2. 如果 $n$ 为某个素数 $p$ 的幂次 $p^a$ ,则 $\varphi(p^a)=(p-1)*p^{a-1}$
3. 如果 $n$ 为任意两个互质的数 $a,b$ 的乘积,则 $\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)$

继续推导,可得：
4. 将 $n$ 分解为素数幂乘积形式,即

n = p_{1}^{a_{1}} * p_{2}^{a_{2}} * . . . * p_{k}^{a_{k}} 4

$n=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}4$
那么可得

φ (n) = n * (p_{1} - 1) / p_{1} * (p_{2} - 1) / p_{2} * . . . * (p_{k} - 1) / p_{k} = n * \frac{\prod_{1}^{k} p_{i} - 1}{\prod_{1}^{k} p_{i}}

$\varphi(n)=n*(p_1-1)/p_1*(p_2-1)/p_2*...*(p_k-1)/p_k=n* \frac{\prod_1^k p_i-1}{\prod_1^k p_i}$

我还能推:
5. $n$ 的所有因子的欧拉函数和为 $n$

推导过程： 将 $n$ 分解为素数幂乘积形式,即 $n=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}$ ,设已经处理完前 $k-1$ 个因子,设前 $k-1$ 个因子所能形成的数的所有因子的欧拉函数和为 $S$ .加入素因子 $p_k$ ,则对答案的贡献为 $S*(p_k-1)*\sum^{a_k-1}_{i=0}p_k^i$ ,将其与原答案合并得: $ANS=S*((p_k-1)*\sum^{a_k-1}_{i=0}p_k^i+1)$ .化简即可得 $ANS=S*p_k^{a_k}$ .推广一下,即 $ANS=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}=n$

欧拉定理： 若 $a$ 与 $p$ 互质,则 $a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod{p}$
其实费马小定理就是欧拉定理的一种特殊情况（ $p$ 为质数,则 $\varphi(p)=p-1$ ）

求欧拉函数
质因数分解法 $O(\sqrt{n})$ 推出单个欧拉函数
利用引理1,4直接推即可

代码实现如下：

int get_phi_single(int x) {
    int ans=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    if(x!=1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

线性算法 $O(n)$ 推出1~n的欧拉函数
利用引理1,4直接推即可,同时将质数筛了出来

代码实现如下：

int get_phi() {
    for(int i=2;i<size;i++) {
        if(!check[i]) {
            prime[++top]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=top && i*prime[j]<size;j++) {
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
        }
    }
}

题目：
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